הצגת המקור של הדף "מחלקה (תורת החבורות)"

{{מקורות|נושא=מדע וטכנולוגיה|נושא2=מדעי הטבע|רמה=מחפש}}
ב[[תורת החבורות]], '''מחלקה''' או '''קוֹסֵט''' (coset) של תת-חבורה <math>H</math> היא קבוצה של איברי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> אשר מתקבלת מהכפלת אברי <math>H</math> באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה <math>H</math> מהווה חלוקה של <math>G</math> לקבוצות שוות [[עוצמה (מתמטיקה)|בעוצמתן]]. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה <math>H</math> בחבורה <math>G </math> נקרא '''האינדקס''' של <math>H</math> ב-<math>G </math>, ומסומן <math>[G:H]</math>. אם <math>G </math> סופית, אינדקס זה שווה ל-<math>[G:H] = \frac{|G|}{|H|}</math>.

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם '''אינם''' מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה
<math>G=\{1,-1,i,-i\} </math> ותת-החבורה שלה
<math>H=\{1,-1\} </math>. הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא <math>\{i,-i\} </math>, והוא אינו סגור לכפל.

== הגדרה פורמלית ==
תהא <math>G </math> חבורה ותהא <math>H\subseteq G </math> תת-חבורה שלה. יהא <math>g\isin G </math> איבר כלשהו, אז הקבוצה <math>gH=\left\{gh|h\isin H\right\} </math> תיקרא '''מחלקה שמאלית '''(או קוסט שמאלי) של <math>H </math> ב-<math>G </math>, והקבוצה <math>Hg=\left\{hg|h\isin H\right\} </math> תיקרא '''מחלקה ימנית''' (או קוסט ימני) של <math>H </math> ב-<math>G </math>.

== תכונות ==
קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן [[קבוצות זרות|זרות]], כלומר: לכל תת-חבורה <math>H</math>, המחלקות (מאותו צד) של <math>H</math> מהוות [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] של <math>G</math> לקבוצות זרות.

:'''הוכחה''': אם <math>x \in g_1 H \cap g_2 H</math> אז לפי הגדרה קיימים <math>h_1, h_2</math> כך ש-<math>x =g_1 h_1 = g_2 h_2</math> ולכן <math>g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}</math>. מכיוון ש-<math>h_2 h_1^{-1} \in H</math>, נובע ש-<math>g_1 \in g_2 H</math>, ולכן <math>g_1 H = g_2 H</math>. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של <math>H</math> מהוות חלוקה של <math>G </math>. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה [[יחס שקילות]].

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה <math>H</math> שווה למספר האיברים ב-<math>H</math>. במקרה של חבורות אינסופיות, [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] המחלקות שווה. מכאן נובע [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: ה[[סדר של חבורה|סדר]] של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

=== נורמליות ===
אם לתת חבורה מסוימת <math>H</math> מתקיים <math> \forall g\,, gH=Hg</math>, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת [[תת חבורה נורמלית]]. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר [[חבורת מנה]].

== דוגמה ==
ניקח את החבורה <math>(\mathbb{Z},+)</math>, כלומר חבורת ה[[מספר שלם|שלמים]] עם פעולת החיבור. <math>4\mathbb{Z}</math> היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:
<math>\{4\mathbb{Z}, 1+4\mathbb{Z},2+4\mathbb{Z},3+4\mathbb{Z}\}</math>. נציגים לדוגמה מהמחלקה <math>1+4\mathbb{Z}</math> הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה <math>3+4\mathbb{Z}</math> הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי [[חבורה אבלית]], ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:תורת החבורות]]

[[de:Gruppentheorie#Nebenklassen]]
[[ru:Глоссарий теории групп#К]]