מחלקה (תורת החבורות)

תבנית:מקורות בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה $H$ היא קבוצה של איברי חבורה $G$ אשר מתקבלת מהכפלת אברי $H$ באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה $H$ מהווה חלוקה של $G$ לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה $H$ בחבורה $G$ נקרא האינדקס של $H$ ב-$G$, ומסומן $[G:H]$. אם $G$ סופית, אינדקס זה שווה ל-$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$.

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה $G=\{1,-1,i,-i\}$ ותת-החבורה שלה $H=\{1,-1\}$. הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא $\{i,-i\}$, והוא אינו סגור לכפל.

הגדרה פורמלית

תהא $G$ חבורה ותהא $H\subseteq G$ תת-חבורה שלה. יהא $g\in G$ איבר כלשהו, אז הקבוצה $gH=\{gh|h\in H\}$ תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של $H$ ב-$G$, והקבוצה $Hg=\{hg|h\in H\}$ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של $H$ ב-$G$.

תכונות

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה $H$, המחלקות (מאותו צד) של $H$ מהוות חלוקה של $G$ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם $x\in g_{1}H\cap g_{2}H$ אז לפי הגדרה קיימים $h_1,h_2$ כך ש-$x=g_1{h}_1=g_2{h}_2$ ולכן $g_1=g_2{h}_2{h}_1^{-1}$. מכיוון ש-$h_2{h}_1^{-1}\in H$, נובע ש-$g_1\in g_{2}H$, ולכן $g_{1}H=g_{2}H$. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של $H$ מהוות חלוקה של $G$. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה $H$ שווה למספר האיברים ב-$H$. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות

אם לתת חבורה מסוימת $H$ מתקיים $\mathrm{\forall }g,gH=Hg$, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

ניקח את החבורה $(\mathbb{Z},+)$, כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. $4\mathbb{Z}$ היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: $\{4\mathbb{Z},1+4\mathbb{Z},2+4\mathbb{Z},3+4\mathbb{Z}\}$. נציגים לדוגמה מהמחלקה $1+4\mathbb{Z}$ הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה $3+4\mathbb{Z}$ הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld