הצגת המקור של הדף "מטריצת ונדרמונד"

ב[[אלגברה ליניארית]], '''מטריצת ונדרמונד''' (על שם [[אלכסנדר ונדרמונד]]) היא [[מטריצה]] מסדר <math> n \times m </math> כאשר כל שורה (או לחלופין: כל עמודה) היא [[סדרה הנדסית]], כמתואר כאן:
<math display="block">V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}
\end{bmatrix}</math>


אם המטריצה [[מטריצה ריבועית|ריבועית]] (<math>m=n</math>), אז ה[[דטרמיננטה]] שלה, הנקראת '''דטרמיננטת ונדרמונד''', מבוטאת על ידי הביטוי: <math>\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) </math>.

מטריצה זו מעריכה [[פולינום]] בנקודות: היא מעבירה את מקדמי הפולינום <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}</math> לערכים שהפולינום מקבל בנקודות <math>\alpha_i</math>. לכן אפשר להשתמש בה כדי לבצע [[אינטרפולציה#אינטרפולציה באמצעות פולינום|אינטרפולציה פולינומית]], אך זו אינה הדרך היחידה, וחלק מן הדרכים האחרות יעילות יותר.

דוגמה למטריצת ונדרמונד מיוחדת היא מטריצה של [[התמרת פורייה]] שבה <math>\alpha_i</math> נבחרים להיות [[שורש יחידה|שורשי היחידה]]:

<math>
W = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix}
1&1&1&1&\cdots &1 \\
1&\omega&\omega^2&\omega^3&\cdots&\omega^{N-1} \\
1&\omega^2&\omega^4&\omega^6&\cdots&\omega^{2(N-1)}\\ 1&\omega^3&\omega^6&\omega^9&\cdots&\omega^{3(N-1)}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&\omega^{N-1}&\omega^{2(N-1)}&\omega^{3(N-1)}&\cdots&\omega^{(N-1)(N-1)}\\
\end{bmatrix}
</math>, כאשר <math>\omega = e^{-\frac{2\pi i}{N}}</math>.

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}

* [[proofwiki:Vandermonde Determinant|כיצד לחשב את דטרמיננטת ונדרמונד]] באתר ProofWiki

{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[קטגוריה:מטריצות]]