מטריצת ונדרמונד

באלגברה ליניארית, מטריצת ונדרמונד (על שם אלכסנדר ונדרמונד) היא מטריצה מסדר $n\times m$ כאשר כל שורה (או לחלופין: כל עמודה) היא סדרה הנדסית, כמתואר כאן: $$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {\alpha }_m^2& \dots & {\alpha }_m^{n-1}\end{array}\right]$$

אם המטריצה ריבועית ($m=n$), אז הדטרמיננטה שלה, הנקראת דטרמיננטת ונדרמונד, מבוטאת על ידי הביטוי: $det(V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$.

מטריצה זו מעריכה פולינום בנקודות: היא מעבירה את מקדמי הפולינום $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$ לערכים שהפולינום מקבל בנקודות ${\alpha }_i$. לכן אפשר להשתמש בה כדי לבצע אינטרפולציה פולינומית, אך זו אינה הדרך היחידה, וחלק מן הדרכים האחרות יעילות יותר.

דוגמה למטריצת ונדרמונד מיוחדת היא מטריצה של התמרת פורייה שבה ${\alpha }_i$ נבחרים להיות שורשי היחידה:

$W=\frac{1}{\sqrt{N}}\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& \omega & {\omega }^2& {\omega }^3& \cdots & {\omega }^{N-1}\\ 1& {\omega }^2& {\omega }^4& {\omega }^6& \cdots & {\omega }^{2(N-1)}\\ 1& {\omega }^3& {\omega }^6& {\omega }^9& \cdots & {\omega }^{3(N-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\omega }^{N-1}& {\omega }^{2(N-1)}& {\omega }^{3(N-1)}& \cdots & {\omega }^{(N-1)(N-1)}\end{array}\right]$, כאשר $\omega =e^{-\frac{2\pi i}{N}}$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld

• כיצד לחשב את דטרמיננטת ונדרמונד באתר ProofWiki