הצגת המקור של הדף "ממוצע גאומטרי"

'''ממוצע גאומטרי''' (ממוצע הנדסי) הוא סוג של [[ממוצע]] המהווה [[מדד מרכז]] לקבוצה סופית של מספרים ממשיים חיוביים. בהינתן סדרת מספרים <math>x_1, x_2, \ldots x_n \,</math> הממוצע הגאומטרי מוגדר כשורש ה-<math>n</math> של [[מכפלה|מכפלת]] איברי הסדרה,<ref>https://encyclopediaofmath.org/wiki/Geometric_mean</ref>

<math display="block">\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}</math>לחלופין ניתן להציג את הממוצע הגאומטרי באמצעות הממוצע החשבוני של הלוגריתם של הסדרה<math display="block">\bar{x} = \exp({1\over n} \sum_{i=1}^n\ln{x_i})</math>

== תכונות ==
פרט לתכונות הכלליות שיש לו מעצם היותו סוג של [[ממוצע]], לממוצע גאומטרי מספר תכונות ייחודיות:
* מכפלתה של סדרת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים בסדרה בממוצע הגאומטרי של הסדרה.
* לכל סדרת מספרים מספרים, הממוצע הגאומטרי קטן מה[[ממוצע חשבוני|ממוצע החשבוני]] שלה, אלא אם כן כל המספרים בסדרה שווים, ובמקרה זה הממוצע החשבוני והממוצע הגאומטרי שווים.{{הערה|{{צ-ספר|שם=The Arithmetic, Geometric and Harmonic Means|קישור=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0399-4_2|מו"ל=Springer Netherlands|שנת הוצאה=2003|מקום הוצאה=Dordrecht|ISBN=978-94-017-0399-4|עמ=60–174|מחבר=P. S. Bullen|שפה=en}}}}
* המנה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המנות של איברי שתי הסדרות.
* המכפלה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המכפלות של אברי שתי הסדרות.
* הממוצע הגאומטרי הוא מקרה פרטי של [[ממוצע מוכלל]]. הממוצע הגאומטרי מתקבל כאשר הפרמטר <math>p</math> בהגדרת הממוצע המשוכלל שואף לאפס. לחישוב הגבול ניתן להשתמש ב[[כלל לופיטל]]<math display="block">\begin{align}
\lim_{p\to 0}\left(\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}} = &
 \exp \left( \lim_{p\to 0} \frac{1}{p} \ln \biggl( \frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n} \biggr) \right) \\
 = &\exp\left( \biggl(\frac{\sum_{i=1}^n \ln(x_i)}{n} \biggr) \right) = \bar{x}
\end{align}</math>

== שימוש ==
ממוצע גאומטרי שימושי עבור סדרות של ערכים שבהם יש משמעות למכפלת הערכים ולא לחיבור ביניהם. לדוגמה:
* חישוב [[תשואה]] ממוצעת רב שנתית על השקעות: הממוצע הגאומטרי מספק תמונה מדויקת של התשואה הממוצעת, כיוון שהוא לוקח בחשבון את ההיבט הכפלי של התשואות השנתיות.{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://www.investopedia.com/articles/investing/071113/breaking-down-geometric-mean.asp|כותרת=Breaking Down the Geometric Mean in Investing|אתר=Investopedia|שפה=en|תאריך_וידוא=2024-08-15}}}} כדוגמה, נניח שלאורך 4 שנים התשואות היו 10%, 150%, 30%- ו 10%. ההחזר על השקעה של 100 ש"ח הוא <math>100\times 1.10 \times 2.5 \times0.7 \times 1.1 = 211.75 </math>. התוצאה הזו שקולה לתשואה שנתית ממוצעת של 20.6%, שמתקבלת באמצעות ממוצע גאומטרי. ממוצע זה נמוך בהרבה מהממוצע החשבוני של סדרה זו – 35%.
* קצב גידול אוכלוסייה: לחישוב של קצב הגידול הממוצע באוכלוסייה בתקופה מסוימת משתמשים בממוצע גאומטרי ולא בממוצע חשבוני.{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://izs.org.il/papers/demographijuly13.pdf|הכותב=יעקב פייטלסון|כותרת=התהליכים הדמוגרפיים בארץ ישראל ( 1800-2013)|תאריך=אוגוסט 2013}}}}

== ממוצע גאומטרי של פונקציה רציפה ==
אם <math>f:[a,b]\to(0, \infty)</math> היא [[פונקציה ממשית]] רציפה, הממוצע הגאומטרי שלה בתחום הוא
:<math>\overline{f} = \exp\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b\ln f(x)dx\right)</math>
כדוגמה, הממוצע הגאומטרי של הפונקציית הזהות <math>f(x) = x</math> בקטע <math>[0:1]</math>הוא <math>e^{-1}</math>.

== ראו גם ==
* [[אי שוויון הממוצעים]]
* [[מדד מיקום מרכזי]]
* [[ממוצע הרמוני]]
* [[ממוצע חשבוני]]
* [[ממוצע מוכלל]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ממוצעים]]