ממוצע גאומטרי

ממוצע גאומטרי (ממוצע הנדסי) הוא סוג של ממוצע המהווה מדד מרכז לקבוצה סופית של מספרים ממשיים חיוביים. בהינתן סדרת מספרים $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$ הממוצע הגאומטרי מוגדר כשורש ה- $n$ של מכפלת איברי הסדרה,^[1]

$\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}} = \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n}}$ לחלופין ניתן להציג את הממוצע הגאומטרי באמצעות הממוצע החשבוני של הלוגריתם של הסדרה $\bar{x} = \exp (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i})$

תכונות

פרט לתכונות הכלליות שיש לו מעצם היותו סוג של ממוצע, לממוצע גאומטרי מספר תכונות ייחודיות:

מכפלתה של סדרת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים בסדרה בממוצע הגאומטרי של הסדרה.
לכל סדרת מספרים מספרים, הממוצע הגאומטרי קטן מהממוצע החשבוני שלה, אלא אם כן כל המספרים בסדרה שווים, ובמקרה זה הממוצע החשבוני והממוצע הגאומטרי שווים.תבנית:הערה
המנה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המנות של איברי שתי הסדרות.
המכפלה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המכפלות של אברי שתי הסדרות.
הממוצע הגאומטרי הוא מקרה פרטי של ממוצע מוכלל. הממוצע הגאומטרי מתקבל כאשר הפרמטר $p$ בהגדרת הממוצע המשוכלל שואף לאפס. לחישוב הגבול ניתן להשתמש בכלל לופיטל $\begin{matrix} \lim_{p \to 0} {(\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{p}}{n})}^{\frac{1}{p}} = & \exp (\lim_{p \to 0} \frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{p}}{n})) \\ = & \exp ((\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (x_{i})}{n})) = \bar{x} \end{matrix}$

שימוש

ממוצע גאומטרי שימושי עבור סדרות של ערכים שבהם יש משמעות למכפלת הערכים ולא לחיבור ביניהם. לדוגמה:

חישוב תשואה ממוצעת רב שנתית על השקעות: הממוצע הגאומטרי מספק תמונה מדויקת של התשואה הממוצעת, כיוון שהוא לוקח בחשבון את ההיבט הכפלי של התשואות השנתיות.תבנית:הערה כדוגמה, נניח שלאורך 4 שנים התשואות היו 10%, 150%, 30%- ו 10%. ההחזר על השקעה של 100 ש"ח הוא $100 \times 1.10 \times 2.5 \times 0.7 \times 1.1 = 211.75$ . התוצאה הזו שקולה לתשואה שנתית ממוצעת של 20.6%, שמתקבלת באמצעות ממוצע גאומטרי. ממוצע זה נמוך בהרבה מהממוצע החשבוני של סדרה זו – 35%.
קצב גידול אוכלוסייה: לחישוב של קצב הגידול הממוצע באוכלוסייה בתקופה מסוימת משתמשים בממוצע גאומטרי ולא בממוצע חשבוני.תבנית:הערה