הצגת המקור של הדף "מספר מונית"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מושג בתורת המספרים|אחר=רישיון להפעלת מונית בישראל|ראו=[[מספר ירוק]]}}
ב[[מתמטיקה]], '''מספר מונית''' מסדר n, המסומן '''{{משמאל לימין|Ta(n)}}''' או '''{{משמאל לימין|Taxicab(n)}}''' הוא ה[[מספר טבעי|מספר הטבעי]] הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] שלישיות של מספרים טבעיים (בניסוח אחר: המספר הטבעי הקטן ביותר A שלו יש n פתרונות שונים במספרים טבעיים ל[[משוואה דיופנטית|משוואה הדיופנטית]] <math>x^3+y^3=A</math>). מספר המונית הנודע ביותר הוא [[1729 (מספר)|1729]] = Ta(2) = 1<sup>3</sup> + 12<sup>3</sup> = 9<sup>3</sup> + 10<sup>3</sup>. המושג קיבל את שמו בעקבות [[אנקדוטה]] הקשורה במספר זה שסיפר ה[[מתמטיקאי]] [[גודפרי הרולד הארדי|ג. ה. הארדי]] ומתארת ביקור שלו ב[[בית חולים]] בו אושפז המתמטיקאי [[סריניוואסה רמנוג'אן]]. בלשונו של הארדי:

{{ציטוט
| תוכן = אני זוכר שנסעתי לבקרו במיטת חוליו בפוטני. נסעתי במונית שמספרה 1729, והערתי שזה מספר משעמם למדי, ושאני מקווה שזה איננו סימן רע. 'לא', הוא ענה, 'זה [[מספר מעניין]] מאוד; זה המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שתי חזקות שלישיות בשתי דרכים שונות
| מקור = [[גודפרי הרולד הארדי]]{{הערה|[http://www.bbc.co.uk/news/magazine-24459279 Why is the number 1,729 hidden in Futurama episodes?], [[BBC]], 15 October 2013}}
| מירכאות = כן
}}
==היסטוריה==
תכונה זו של המספר 1729 צוינה עוד בשנת 1657 על ידי המתמטיקאי הצרפתי [[ברנאר פרניקל דה בסי]], בתשובה לשאלה ששלח לו [[פייר דה פרמה]]. בשנת 1938 הוכיחו הארדי ו[[אדוארד מייטלנד רייט]] שמספר מונית קיים לכל מספר טבעי, ולפי [[הוכחה]] זו קל לכתוב [[תוכנית מחשב]] שתייצר לכל n מספר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות, אך מספר זה לא יהיה בהכרח הקטן ביותר, כך שדרך זו אינה מאפשרת למצוא את ערכו של {{משמאל לימין|Ta(n)}}, אבל מאפשרת להציב לו [[חסם מלעיל]].

מספרי המונית שלאחר {{משמאל לימין|1=Ta(2)=1729}} נמצאו באמצעות [[מחשב]]. [[ג'ון ליץ' (מתמטיקאי)|ג'ון ליץ']] מצא את {{משמאל לימין|Ta(3)}} בשנת 1957.{{כ}} {{משמאל לימין|Ta(4)}} נמצא בשנת 1989.{{כ}} {{משמאל לימין|Ta(5)}} נמצא בשנת 1994.{{כ}} {{משמאל לימין|Ta(6)}} נמצא בשנת 2008,{{הערה|	
Uwe Hollerbach, [https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;f1ac1754.0803 The sixth taxicab number is 24153319581254312065344], Listserv, 9 Mar 2008}} בעקבות מאמר משנת 2003 שטען שמספר זה הוא 24153319581254312065344 בהסתברות של 99%.{{הערה| C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen, [https://www.cs.auckland.ac.nz/~cristian/taxicab.pdf What is the value of Taxicab(6)?], Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), pp. 1196–1203}}

ב[[האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים|אנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים]] סדרת מספרי המונית היא סדרה [https://oeis.org/A011541 A011541].

הגמשה של הדרישה לחזקות שלישיות של מספרים טבעיים, כך שיתאפשרו גם חזקות שלישיות של [[מספרים חיוביים ושליליים|מספרים שליליים]], הקרויה cabtaxi number, מאפשרת מציאת מספרי מונית קטנים יותר, למשל:
:<math>\begin{matrix}\mathrm{Cabtaxi}(2)&=&91&=&3^3 + 4^3 \\&&&=&6^3 - 5^3\end{matrix}</math>.

==מספרי מונית ידועים==
עד כה ידועים רק ששת מספרי המונית הבאים:
<div class="mw-content-ltr">
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Ta}(1) = 2 & = 1^3 + 1^3
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Ta}(2) = 1729 & = 1^3 + 12^3 \\
& = 9^3 + 10^3
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Ta}(3) = 87539319 & = 167^3 + 436^3 \\
& = 228^3 + 423^3 \\
& = 255^3 + 414^3
\end{align}</math>

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Ta}(4) = 6963472309248 & = 2421^3 + 19083^3 \\
& = 5436^3 + 18948^3 \\
& = 10200^3 + 18072^3 \\
& = 13322^3 + 16630^3
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Ta}(5) = 48988659276962496 & = 38787^3 + 365757^3 \\
& = 107839^3 + 362753^3 \\
& = 205292^3 + 342952^3 \\
& = 221424^3 + 336588^3 \\
& = 231518^3 + 331954^3
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Ta}(6) = 24153319581254312065344 & = 582162^3 + 28906206^3 \\
& = 3064173^3 + 28894803^3 \\
& = 8519281^3 + 28657487^3 \\
& = 16218068^3 + 27093208^3 \\
& = 17492496^3 + 26590452^3 \\
& = 18289922^3 + 26224366^3
\end{align}
</math>
</div>

==חסם מלעיל למספרי מונית נוספים==
למספרי המונית הבאים ידוע [[חסם מלעיל]], כלומר נמצא מספר n שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים, אך אין ידיעה שהוא הקטן ביותר:
<div class="mw-content-ltr">
: <math>\begin{matrix}\operatorname{Ta}(7)& \le &24885189317885898975235988544&=&2648660966^3 + 1847282122^3 \\&&&=&2685635652^3 + 1766742096^3 \\&&&=&2736414008^3 + 1638024868^3 \\&&&=&2894406187^3 + 860447381^3 \\&&&=&2915734948^3 + 459531128^3 \\&&&=&2918375103^3 + 309481473^3\\&&&=&2919526806^3 + 58798362^3\end{matrix}</math>

: <math>\begin{matrix}\operatorname{Ta}(8)& \le &50974398750539071400590819921724352&=&299512063576^3 + 288873662876^3 \\&&&=&336379942682^3 + 234604829494^3 \\&&&=&341075727804^3 + 224376246192^3 \\&&&=&347524579016^3 + 208029158236^3 \\&&&=&367589585749^3 + 109276817387^3 \\&&&=&370298338396^3 + 58360453256^3\\&&&=&370633638081^3 + 39304147071^3\\&&&=&370779904362^3 + 7467391974^3\end{matrix}</math>

: <math>\begin{matrix}\operatorname{Ta}(9)& \le &136897813798023990395783317207361432493888&=&41632176837064^3 + 40153439139764^3 \\&&&=&46756812032798^3 + 32610071299666^3 \\&&&=&47409526164756^3 + 31188298220688^3 \\&&&=&48305916483224^3 + 28916052994804^3 \\&&&=&51094952419111^3 + 15189477616793^3 \\&&&=&51471469037044^3 + 8112103002584^3\\&&&=&51518075693259^3 + 5463276442869^3\\&&&=&51530042142656^3 + 4076877805588^3\\&&&=&51538406706318^3 + 1037967484386^3\end{matrix}</math>

: <math>\begin{matrix}\operatorname{Ta}(10)& \le &7335345315241855602572782233444632535674275447104&=&15695330667573128^3 + 15137846555691028^3 \\&&&=&17627318136364846^3 + 12293996879974082^3 \\&&&=&17873391364113012^3 + 11757988429199376^3 \\&&&=&18211330514175448^3 + 10901351979041108^3 \\&&&=&19262797062004847^3 + 5726433061530961^3 \\&&&=&19404743826965588^3 + 3058262831974168^3\\&&&=&19422314536358643^3 + 2059655218961613^3\\&&&=&19426825887781312^3 + 1536982932706676^3\\&&&=&19429379778270560^3 + 904069333568884^3\\&&&=&19429979328281886^3 + 391313741613522^3\end{matrix}</math>

: <math>\begin{matrix}\operatorname{Ta}(11)& \le &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632&=&11410505395325664056^3 + 11005214445987377356^3 \\&&&=&12815060285137243042^3 + 8937735731741157614^3 \\&&&=&12993955521710159724^3 + 8548057588027946352^3 \\&&&=&13239637283805550696^3 + 7925282888762885516^3 \\&&&=&13600192974314732786^3 + 6716379921779399326^3 \\&&&=&14004053464077523769^3 + 4163116835733008647^3\\&&&=&14107248762203982476^3 + 2223357078845220136^3\\&&&=&14120022667932733461^3 + 1497369344185092651^3\\&&&=&14123302420417013824^3 + 1117386592077753452^3\\&&&=&14125159098802697120^3 + 657258405504578668^3\\&&&=&14125594971660931122^3 + 284485090153030494^3\end{matrix}</math>

: <math>\begin{matrix}\operatorname{Ta}(12)& \le &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152&=&33900611529512547910376^3 + 32696492119028498124676^3 \\&&&=&38073544107142749077782^3 + 26554012859002979271194^3\\&&&=&38605041855000884540004^3 + 25396279094031028611792^3 \\&&&=&39334962370186291117816^3 + 23546015462514532868036^3 \\&&&=&40406173326689071107206^3 + 19954364747606595397546^3 \\&&&=&41606042841774323117699^3 + 12368620118962768690237^3 \\&&&=&41912636072508031936196^3 + 6605593881249149024056^3 \\&&&=&41950587346428151112631^3 + 4448684321573910266121^3 \\&&&=&41960331491058948071104^3 + 3319755565063005505892^3 \\&&&=&41965847682542813143520^3 + 1952714722754103222628^3 \\&&&=&41965889731136229476526^3 + 1933097542618122241026^3 \\&&&=&41967142660804626363462^3 + 845205202844653597674^3\end{matrix}</math>
</div>

==מספרי מונית שאינם מכפלה של חזקה שלישית==
להגדרה של מספר מונית ניתן להוסיף מגבלה, שמספר זה לא יהיה מכפלה של חזקה שלישית שונה מ-1<sup>3</sup> (cubefree taxicab number). כאשר מספר מונית T, המקיים מגבלה זו, נכתב כ־T = x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>, אז x ו-y חייבים להיות [[מספרים זרים]]. מבין ששת מספרי המונית המנויים לעיל, רק {{משמאל לימין|Ta(1)}} ו-{{משמאל לימין|Ta(2)}} מקיימים מגבלה זו. המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לשלוש דרכים שונות הוא
<div class="mw-content-ltr">
:15170835645
::= 517<sup>3</sup> + 2468<sup>3</sup>
::= 709<sup>3</sup> + 2456<sup>3</sup>
::= 1733<sup>3</sup> + 2152<sup>3</sup>
</div>
המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לארבע דרכים שונות הוא
<div class="mw-content-ltr">
:1801049058342701083
::= 92227<sup>3</sup> + 1216500<sup>3</sup>
::= 136635<sup>3</sup> + 1216102<sup>3</sup>
::= 341995<sup>3</sup> + 1207602<sup>3</sup>
::= 600259<sup>3</sup> + 1165884<sup>3</sup>
</div>
ב[[האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים|אנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים]] סדרת המספרים בעלי תכונה זו היא סדרה [https://oeis.org/A080642 A080642].

==הכללה==
בהמשך לשיחתו של הארדי עם רמנוג'אן, שאל הארדי את רמנוג'אן האם הוא מכיר את הפתרון לבעיה המקבילה למספרים בחזקה רביעית. רמנוג'אן ענה, לאחר רגע של מחשבה, שאין לו דוגמה מיידית, אבל שמספר זה בוודאי גדול מאוד. שאלתו של הארדי היא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] מסוימת של מספר המונית. הכללה נרחבת יותר, כך שיתאפשר סכום של מספר כלשהו של חזקות (ולא רק 2) ושהחזקה תהיה מספר כלשהו (ולא רק 3) קרויה "מספר מונית מוכלל" {{אנג|Generalized taxicab number}}. מספר מונית מוכלל, {{משמאל לימין|Taxicab(k, j, n)}}, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של j מספרים טבעיים בחזקת k. מספר המונית הרגיל הוא [[מקרה פרטי]] של מספר המונית המוכלל, שבו k=3 ו-j=2.

דוגמאות למספר מונית מוכלל:
<div class="mw-content-ltr">
:<math>\mathrm{Taxicab}(1, 2, 2) = 4 = 1 + 3 = 2 + 2.</math>
:<math>\mathrm{Taxicab}(2, 2, 2) = 50 = 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2.</math>
:<math>\mathrm{Taxicab}(3, 2, 2) = 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3</math>
:<math>\mathrm{Taxicab}(4, 2, 2) = 635318657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4</math>
</div>

לא ידוע האם קיים {{משמאל לימין|Taxicab(5, 2, n)}}, כלומר מספר טבעי שניתן להציגו ביותר מאשר דרך אחת כסכום של שתי חזקות חמישיות.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|TaxicabNumber}}
* {{OEIS|A011541|סדרת מספרי מונית ידועים}}
<div class="mw-content-ltr">
* David W. Wilson, [https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/wilson10.html The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496], Journal of Integer Sequences, Vol. 2, 1999
* [http://euler.free.fr/taxicab4.htm Taxicab Numbers - 4th powers], EulerNet
* Joseph H. Silverman, [https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/silverman331-340.pdf Taxicabs and sums of two cubes], Amer. Math. Monthly 100, 1993, pp. 331–340
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:סריניוואסה רמנוג'אן]]