מספר מונית

תבנית:פירוש נוסף במתמטיקה, מספר מונית מסדר n, המסומן תבנית:משמאל לימין או תבנית:משמאל לימין הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים (בניסוח אחר: המספר הטבעי הקטן ביותר A שלו יש n פתרונות שונים במספרים טבעיים למשוואה הדיופנטית $x^3+y^3=A$). מספר המונית הנודע ביותר הוא 1729 = Ta(2) = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. המושג קיבל את שמו בעקבות אנקדוטה הקשורה במספר זה שסיפר המתמטיקאי ג. ה. הארדי ומתארת ביקור שלו בבית חולים בו אושפז המתמטיקאי סריניוואסה רמנוג'אן. בלשונו של הארדי:

היסטוריה

תכונה זו של המספר 1729 צוינה עוד בשנת 1657 על ידי המתמטיקאי הצרפתי ברנאר פרניקל דה בסי, בתשובה לשאלה ששלח לו פייר דה פרמה. בשנת 1938 הוכיחו הארדי ואדוארד מייטלנד רייט שמספר מונית קיים לכל מספר טבעי, ולפי הוכחה זו קל לכתוב תוכנית מחשב שתייצר לכל n מספר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות, אך מספר זה לא יהיה בהכרח הקטן ביותר, כך שדרך זו אינה מאפשרת למצוא את ערכו של תבנית:משמאל לימין, אבל מאפשרת להציב לו חסם מלעיל.

מספרי המונית שלאחר תבנית:משמאל לימין נמצאו באמצעות מחשב. ג'ון ליץ' מצא את תבנית:משמאל לימין בשנת 1957.תבנית:כ תבנית:משמאל לימין נמצא בשנת 1989.תבנית:כ תבנית:משמאל לימין נמצא בשנת 1994.תבנית:כ תבנית:משמאל לימין נמצא בשנת 2008,תבנית:הערה בעקבות מאמר משנת 2003 שטען שמספר זה הוא 24153319581254312065344 בהסתברות של 99%.תבנית:הערה

באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרת מספרי המונית היא סדרה A011541.

הגמשה של הדרישה לחזקות שלישיות של מספרים טבעיים, כך שיתאפשרו גם חזקות שלישיות של מספרים שליליים, הקרויה cabtaxi number, מאפשרת מציאת מספרי מונית קטנים יותר, למשל:

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(2)& =& 91& =& 3^3+4^3\\ & & & =& 6^3-5^3\end{array}$.

מספרי מונית ידועים

עד כה ידועים רק ששת מספרי המונית הבאים:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(1)=2& =1^3+1^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(2)=1729& =1^3+12^3\\ & =9^3+10^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(3)=87539319& =167^3+436^3\\ & =228^3+423^3\\ & =255^3+414^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(4)=6963472309248& =2421^3+19083^3\\ & =5436^3+18948^3\\ & =10200^3+18072^3\\ & =13322^3+16630^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(5)=48988659276962496& =38787^3+365757^3\\ & =107839^3+362753^3\\ & =205292^3+342952^3\\ & =221424^3+336588^3\\ & =231518^3+331954^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(6)=24153319581254312065344& =582162^3+28906206^3\\ & =3064173^3+28894803^3\\ & =8519281^3+28657487^3\\ & =16218068^3+27093208^3\\ & =17492496^3+26590452^3\\ & =18289922^3+26224366^3\end{array}$

חסם מלעיל למספרי מונית נוספים

למספרי המונית הבאים ידוע חסם מלעיל, כלומר נמצא מספר n שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים, אך אין ידיעה שהוא הקטן ביותר:

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(7)& \le & 24885189317885898975235988544& =& 2648660966^3+1847282122^3\\ & & & =& 2685635652^3+1766742096^3\\ & & & =& 2736414008^3+1638024868^3\\ & & & =& 2894406187^3+860447381^3\\ & & & =& 2915734948^3+459531128^3\\ & & & =& 2918375103^3+309481473^3\\ & & & =& 2919526806^3+58798362^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(8)& \le & 50974398750539071400590819921724352& =& 299512063576^3+288873662876^3\\ & & & =& 336379942682^3+234604829494^3\\ & & & =& 341075727804^3+224376246192^3\\ & & & =& 347524579016^3+208029158236^3\\ & & & =& 367589585749^3+109276817387^3\\ & & & =& 370298338396^3+58360453256^3\\ & & & =& 370633638081^3+39304147071^3\\ & & & =& 370779904362^3+7467391974^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(9)& \le & 136897813798023990395783317207361432493888& =& 41632176837064^3+40153439139764^3\\ & & & =& 46756812032798^3+32610071299666^3\\ & & & =& 47409526164756^3+31188298220688^3\\ & & & =& 48305916483224^3+28916052994804^3\\ & & & =& 51094952419111^3+15189477616793^3\\ & & & =& 51471469037044^3+8112103002584^3\\ & & & =& 51518075693259^3+5463276442869^3\\ & & & =& 51530042142656^3+4076877805588^3\\ & & & =& 51538406706318^3+1037967484386^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(10)& \le & 7335345315241855602572782233444632535674275447104& =& 15695330667573128^3+15137846555691028^3\\ & & & =& 17627318136364846^3+12293996879974082^3\\ & & & =& 17873391364113012^3+11757988429199376^3\\ & & & =& 18211330514175448^3+10901351979041108^3\\ & & & =& 19262797062004847^3+5726433061530961^3\\ & & & =& 19404743826965588^3+3058262831974168^3\\ & & & =& 19422314536358643^3+2059655218961613^3\\ & & & =& 19426825887781312^3+1536982932706676^3\\ & & & =& 19429379778270560^3+904069333568884^3\\ & & & =& 19429979328281886^3+391313741613522^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(11)& \le & 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632& =& 11410505395325664056^3+11005214445987377356^3\\ & & & =& 12815060285137243042^3+8937735731741157614^3\\ & & & =& 12993955521710159724^3+8548057588027946352^3\\ & & & =& 13239637283805550696^3+7925282888762885516^3\\ & & & =& 13600192974314732786^3+6716379921779399326^3\\ & & & =& 14004053464077523769^3+4163116835733008647^3\\ & & & =& 14107248762203982476^3+2223357078845220136^3\\ & & & =& 14120022667932733461^3+1497369344185092651^3\\ & & & =& 14123302420417013824^3+1117386592077753452^3\\ & & & =& 14125159098802697120^3+657258405504578668^3\\ & & & =& 14125594971660931122^3+284485090153030494^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(12)& \le & 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152& =& 33900611529512547910376^3+32696492119028498124676^3\\ & & & =& 38073544107142749077782^3+26554012859002979271194^3\\ & & & =& 38605041855000884540004^3+25396279094031028611792^3\\ & & & =& 39334962370186291117816^3+23546015462514532868036^3\\ & & & =& 40406173326689071107206^3+19954364747606595397546^3\\ & & & =& 41606042841774323117699^3+12368620118962768690237^3\\ & & & =& 41912636072508031936196^3+6605593881249149024056^3\\ & & & =& 41950587346428151112631^3+4448684321573910266121^3\\ & & & =& 41960331491058948071104^3+3319755565063005505892^3\\ & & & =& 41965847682542813143520^3+1952714722754103222628^3\\ & & & =& 41965889731136229476526^3+1933097542618122241026^3\\ & & & =& 41967142660804626363462^3+845205202844653597674^3\end{array}$

מספרי מונית שאינם מכפלה של חזקה שלישית

להגדרה של מספר מונית ניתן להוסיף מגבלה, שמספר זה לא יהיה מכפלה של חזקה שלישית שונה מ-1³ (cubefree taxicab number). כאשר מספר מונית T, המקיים מגבלה זו, נכתב כ־T = x³+y³, אז x ו-y חייבים להיות מספרים זרים. מבין ששת מספרי המונית המנויים לעיל, רק תבנית:משמאל לימין ו-תבנית:משמאל לימין מקיימים מגבלה זו. המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לשלוש דרכים שונות הוא

15170835645

= 517³ + 2468³

= 709³ + 2456³

= 1733³ + 2152³

המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לארבע דרכים שונות הוא

1801049058342701083

= 92227³ + 1216500³

= 136635³ + 1216102³

= 341995³ + 1207602³

= 600259³ + 1165884³

באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרת המספרים בעלי תכונה זו היא סדרה A080642.

הכללה

בהמשך לשיחתו של הארדי עם רמנוג'אן, שאל הארדי את רמנוג'אן האם הוא מכיר את הפתרון לבעיה המקבילה למספרים בחזקה רביעית. רמנוג'אן ענה, לאחר רגע של מחשבה, שאין לו דוגמה מיידית, אבל שמספר זה בוודאי גדול מאוד. שאלתו של הארדי היא הכללה מסוימת של מספר המונית. הכללה נרחבת יותר, כך שיתאפשר סכום של מספר כלשהו של חזקות (ולא רק 2) ושהחזקה תהיה מספר כלשהו (ולא רק 3) קרויה "מספר מונית מוכלל" תבנית:אנג. מספר מונית מוכלל, תבנית:משמאל לימין, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של j מספרים טבעיים בחזקת k. מספר המונית הרגיל הוא מקרה פרטי של מספר המונית המוכלל, שבו k=3 ו-j=2.

דוגמאות למספר מונית מוכלל:

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(1,2,2)=4=1+3=2+2.$

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(2,2,2)=50=1^2+7^2=5^2+5^2.$

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(3,2,2)=1729=1^3+12^3=9^3+10^3$

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(4,2,2)=635318657=59^4+158^4=133^4+134^4$

לא ידוע האם קיים תבנית:משמאל לימין, כלומר מספר טבעי שניתן להציגו ביותר מאשר דרך אחת כסכום של שתי חזקות חמישיות.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:OEIS

• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2, 1999
• Taxicab Numbers - 4th powers, EulerNet
• Joseph H. Silverman, Taxicabs and sums of two cubes, Amer. Math. Monthly 100, 1993, pp. 331–340