הצגת המקור של הדף "מעוין"

[[קובץ:Rhombus.svg|שמאל|300px|מעוינים ואלכסוניהם]]'''מעוין''' הוא [[מרובע]] [[מצולע שווה-צלעות|שווה-צלעות]]. מעוין הוא מקרה פרטי של [[דלתון]] (דלתון קמור שווה-שוקיים) ושל [[מקבילית]] (מקבילית שוות שוקיים). [[ריבוע]] הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

ב[[גאומטריה אנליטית]] ניתן להגדיר מעוין, שאלכסוניו p ו-q מונחים על הצירים, כ[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של הנקודות (''x, y'') שמקיימות:
:<math>\left|\frac{x}{p}\right|\! + \left|\frac{y}{q}\right|\! = 1</math>.

[[פאון]] שכל [[פאה (גאומטריה)|פאותיו]] הן מעוינים נקרא "[[מעוינון]]".

== אטימולוגיה ==
המילה "'''מעוין'''" שאולה מהמילה ה[[ערבית]] "'''معين'''" (תרגומו המילולי הוא גם "מוגדר"). המינוח נקבע לייצג את הצורה הגאומטרית של מרובע שווה-צלעות בעברית על ידי המתרגם רבי [[אברהם בר חייא]], נעשה בו גם שימוש בספרות ימי הביניים היהודית<ref>{{צ-ספר|מחבר=[[יאיר חיים בכרך]]|שם=[[שאלות ותשובות|שו"ת]], [[חות יאיר (ספר)|חַוֹת יאיר]], סימן קע"ב}}</ref>.

כמו כן נמצא גם שימוש במושג "מעוין" ב[[עברית ירושלמית|עברית הירושלמית]] כמילה המגדירה את המושג שקול, דוגמה לכך אפשר למצוא ב[[מדרש]] על [[משה]] שאמר [[אלוהים (יהדות)|לאלוהים]] {{ציטוטון|רבון העולמים כי עין בעין נראה, מהו כי עין בעין? אמר [[ריש לקיש]] הרי מאזנים '''מעוין''', אתה אומר "אכנו בדבר", ואני אומר "סלח נא", נראה של מי עומד}}<ref>{{צ-ספר|שם=[[במדבר רבה]] טז, כה}}</ref>. כמו כן נעשה גם שימוש דומה במילה על ידי ספרות ה[[הלכה]] של [[ימי הביניים]]<ref>{{צ-ספר|מחבר=[[ר"ן]]|שם=[[חידושי הר"ן]] על ה[[רי"ף]]|עמ=דף ג, ב|כרך=[[מסכת ראש השנה]]}}</ref>.

== תכונות המעוין ==
[[קובץ:Rhombus1.svg|300px|ממוזער|שמאל|מעוין]]
* כל ה[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות שוות באורכן. בציור: AB = BC = CD = DA.
* צלעות נגדיות [[ישרים מקבילים|מקבילות]] (AB || CD ; BC || DA).
* [[זווית|זוויות]] נגדיות שוות זו לזו (<math>\angle A = \angle C; \angle B = \angle D</math>).
* כל ה[[גובה (גאומטריה)|גבהים]] שווים בארכם (בציור הגובה מסומן ב-h).
* [[היקף]] המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4 (<math>\ P=4a</math>).
* בכל מעוין ניתן [[מעגל חסום|לחסום מעגל]] ש[[רדיוס]]ו <math>r=\frac{a \sin\alpha}{2}</math>
* [[חבורת סימטריות|חבורת הסימטריות]] של מעוין שאינו ריבוע היא [[חבורת הארבעה של קליין]].

==האלכסונים==
* ה[[אלכסון|אלכסונים]] [[אנך|מאונכים]] זה לזה (<math>AC \perp BD</math>).
* האלכסונים חוצים זה את זה (AS = CS; BS = DS).
* האלכסונים [[חוצה זווית|חוצים את זוויות]] המעוין.

את אורך האלכסונים ''p = AC'' ו-''q = BD'' ניתן להציג לפי אורך הצלע ואחת הזוויות באמצעות הנוסחאות הבאות, שנובעות מ[[משפט הקוסינוסים]]:

:<math>p=a\sqrt{2+2\cos{\alpha}}</math>

:<math>q=a\sqrt{2-2\cos{\alpha}}</math>

==שטח המעוין==
קיימות דרכים אחדות לחישוב [[שטח]] המעוין:
* מחצית מכפלת ה[[אלכסון|אלכסונים]] זה בזה. נובע מכך שהאלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה [[משולש ישר-זווית|משולשים ישרי זווית]].
* אורך צלע כפול הגובה (בציור: <math>K = a \cdot h</math>). בהתאם לנוסחה לחישוב שטח מקבילית.
* אורך צלע בריבוע כפול [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] של אחת הזוויות. בציור: <math>K = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta </math>
* הגובה בריבוע חלקי סינוס של אחת הזוויות. בציור: <math>K=\frac{h^2}{\sin\alpha},</math>
* חצי ההיקף של המעוין כפול רדיוס המעגל החסום. בציור: <math>K = 2a \cdot r </math>

== משפטים הפוכים ==
* מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
* מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
* מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
* מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

==ריצוף המישור==
באמצעות מעוינים זהים ניתן ליצור [[ריצוף (גאומטריה)|ריצוף]] של ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]] בשלוש דרכים:
{| class=wikitable
!colspan=2|ריצוף ששקול [[טופולוגיה|טופולוגית]] ל[[ריצוף ריבועי]]
!ריצוף במעוינים שזוויותיהם{{ש}}60 ו-120 מעלות
|-
|[[קובץ:Lattice of rhombuses.svg|240px]]
|[[קובץ:Isohedral tiling p4-51c.svg|242px]]
|[[קובץ:Rhombic star tiling.svg|154px]]
|}

==תכונות דואליות==
ה[[מצולע דואלי|מצולע הדואלי]] של המעוין הוא ה[[מלבן]]:
* במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
* במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
* למעוין יש [[מעגל חסום]] ולמלבן יש [[מעגל חוסם]].
* למעוין יש ציר [[סימטריה]] דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
* האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
* חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.

== ראו גם ==
* [[ארגייל (דוגמה)|ארגייל]] - דוגמת [[סריגה]] פופולרית של תבנית מעוינים

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/גאומטריה אוקלידית/מעוין|שם ויקיספר=מעוין|ויקישיתוף=Category:Rhombus|ויקימילון=מעין}}
* {{MathWorld|Rhombus}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{מצולעים ופאונים}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מרובעים]]
[[קטגוריה:צורות גאומטריות סימטריות]]