הצגת המקור של הדף "מרחב מנה (אלגברה ליניארית)"

ב[[אלגברה ליניארית]], '''מרחב מנה''' של [[מרחב וקטורי]] <math>V</math> המתקבל מתת-מרחב <math>W</math>, הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" <math>W</math> ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן <math>V/W</math>. הגדרה זו יצר [[פאול הלמוס]] בשנת [[1947]] בספרו "Finite dimensional vector spaces".

==הגדרה==

יהא <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math>, ויהי <math>W</math> תת-מרחב שלו. נגדיר [[יחס שקילות]] על ידי <math>v \sim u \Leftrightarrow v-u \in W</math> עבור כל <math>v,u \in V</math>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/QuotientVectorSpace.html|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Quotient Vector Space|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2024-12-17}}</ref> ניתן להוכיח כי אכן מדובר ביחס שקילות.

מסמנים את [[מחלקת שקילות|מחלקת השקילות]] של וקטור <math>v \in V</math> להיות <math>\left[v\right] = \left\{u \in V \mid u \sim v \right\}</math>, ומתבוננים ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] מחלקות השקילות הללו המסומנת ב-<math>V/W</math>.

ניתן להוכיח כי אם <math>v_1\sim v_2</math> ו-<math>u_1\sim u_2</math> אז בהכרח גם <math>v_1+u_1\sim v_2+u_2</math>. כמו כן, אם <math>v\sim u</math> ו-<math>\lambda\in \mathbb{F}</math> אז גם <math>\lambda v\sim \lambda u</math>. בזכות שתי תכונות אלו ניתן להגדיר באופן טבעי על <math>V/W</math> מבנה של מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>, על ידי פעולת חיבור <math>\left[v\right]+\left[u\right] = \left[v+u\right]</math> וכפל בסקלר <math>\lambda \cdot \left[v\right] = \left[\lambda \cdot v \right]</math>. פעולות אלו אינן תלויות בבחירת הנציג של מחלקות השקילות ולכן מוגדרות היטב.

המרחב הווקטורי <math>V/W</math> עם פעולות אלו נקרא '''מרחב המנה של <math>V</math>''' '''על''' <math>W</math>.

ל[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של המרחב הווקטורי <math>V/W</math> קוראים '''ה[[קו-ממד]] של <math>W</math> ב-<math>V</math>''' ומסמנים אותו ב-<math>\operatorname{codim}(W):=\operatorname{dim}(V/W)</math>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Codimension|כותרת=Codimension - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2024-12-17}}</ref> ניתן להראות כי אם <math>V</math> מרחב וקטורי מממד סופי, אז <math>\dim\left(V/W\right) = \dim \left(V\right) - \dim \left(W\right)</math>.

==דוגמאות למרחב מנה==

* עבור המרחב הווקטורי <math>V = \mathbb{R}^2</math> ותת-המרחב <math>W = \left\{\left(x,y\right) \mid x=y \right\}</math> (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל <math>V/W</math> הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-<math>\mathbb{R}^2</math>, ומרחב זה איזומורפי למרחב <math>\mathbb{R}</math>.
* באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי <math>\mathbb{R}^n</math> ובתת מרחב שלו <math>\mathbb{R}^m</math> לאיזה <math>m<n</math> המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה <math>\mathbb{R}^n/\mathbb{R}^m</math> איזומורפי באופן טבעי למרחב <math>\mathbb{R}^{n-m}</math>.
* באופן עוד יותר כללי, אם <math>V = W \oplus U</math>, אז מרחב המנה <math>V/U</math> איזומורפי באופן טבעי למרחב <math>W</math>.

* יהי <math>\left(X,\mathcal{F},\mu \right)</math> [[מרחב מידה]]. נקבע <math>1 \leq p < \infty</math> כלשהו, ויהי <math>L^p</math> אוסף [[פונקציה מדידה|הפונקציות המדידות]] מהצורה <math>X \to \mathbb{R}</math> או <math>X \to \mathbb{C}</math>, המקיימות <math>\|f\|_p \equiv \left( \int_X |f|^p\;\mathrm{d}\mu \right)^{1/p}<\infty</math>. מ[[אי-שוויון מינקובסקי]] נובע כי <math>\|\|_p</math> מקיימת את [[אי-שוויון המשולש]], ולכן היא [[נורמה-למחצה]] של <math>L^p</math>. כדי להפוך את <math>\|\|_p</math> ל[[נורמה]], התכונה החסרה היא כי <math>f \neq g \Longrightarrow \|f-g\|_p \neq 0</math>. כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב <math>W = \ker\|\|_p = \left\{f \in L^p \mid \|f\|_p = 0 \right\}</math> (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-<math>p</math>), ונקבל כי על המרחב <math>L^p/W</math>, מתקבלת על ידי <math>\|\|_p</math> [[נורמה]] טבעית.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]