מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי $V$ המתקבל מתת-מרחב $W$, הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" $W$ ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן $V/W$. הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרה

יהא $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $𝔽$, ויהי $W$ תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי $v\sim u\iff v-u\in W$ עבור כל $v,u\in V$. ניתן להוכיח כי אכן מדובר ביחס שקילות.

מסמנים את מחלקת השקילות של וקטור $v\in V$ להיות $\left[v\right]=\{u\in V\mid u\sim v\}$, ומתבוננים בקבוצת מחלקות השקילות הללו המסומנת ב-$V/W$.

ניתן להוכיח כי אם $v_1\sim v_2$ ו-$u_1\sim u_2$ אז בהכרח גם $v_1+u_1\sim v_2+u_2$. כמו כן, אם $v\sim u$ ו-$\lambda \in 𝔽$ אז גם $\lambda v\sim \lambda u$. בזכות שתי תכונות אלו ניתן להגדיר באופן טבעי על $V/W$ מבנה של מרחב וקטורי מעל $𝔽$, על ידי פעולת חיבור $\left[v\right]+\left[u\right]=[v+u]$ וכפל בסקלר $\lambda \cdot \left[v\right]=[\lambda \cdot v]$. פעולות אלו אינן תלויות בבחירת הנציג של מחלקות השקילות ולכן מוגדרות היטב.

המרחב הווקטורי $V/W$ עם פעולות אלו נקרא מרחב המנה של $V$ על $W$.

לממד של המרחב הווקטורי $V/W$ קוראים הקו-ממד של $W$ ב-$V$ ומסמנים אותו ב-$\mathrm{codim}(W):=\dim (V/W)$. ניתן להראות כי אם $V$ מרחב וקטורי מממד סופי, אז $\dim (V/W)=\dim \left(V\right)-\dim \left(W\right)$.

דוגמאות למרחב מנה

• עבור המרחב הווקטורי $V={ℝ}^2$ ותת-המרחב $W=\{(x,y)\mid x=y\}$ (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל $V/W$ הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-${ℝ}^2$, ומרחב זה איזומורפי למרחב $ℝ$.
• באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי ${ℝ}^n$ ובתת מרחב שלו ${ℝ}^m$ לאיזה $m<n$ המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה ${ℝ}^n/{ℝ}^m$ איזומורפי באופן טבעי למרחב ${ℝ}^{n-m}$.
• באופן עוד יותר כללי, אם $V=W\oplus U$, אז מרחב המנה $V/U$ איזומורפי באופן טבעי למרחב $W$.

• יהי $(X,ℱ,\mu )$ מרחב מידה. נקבע $1\le p<\mathrm{\infty }$ כלשהו, ויהי $L^p$ אוסף הפונקציות המדידות מהצורה $X\to ℝ$ או $X\to ℂ$, המקיימות $\Vert f{\Vert }_p\equiv {({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}<\mathrm{\infty }$. מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי $\Vert {\Vert }_p$ מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא נורמה-למחצה של $L^p$. כדי להפוך את $\Vert {\Vert }_p$ לנורמה, התכונה החסרה היא כי $f\ne g⟹\Vert f-g{\Vert }_p\ne 0$. כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב $W=\ker \Vert {\Vert }_p=\{f\in L^p\mid \Vert f{\Vert }_p=0\}$ (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-$p$), ונקבל כי על המרחב $L^p/W$, מתקבלת על ידי $\Vert {\Vert }_p$ נורמה טבעית.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld