הצגת המקור של הדף "משפטי התכנסות מרטינגלים"

{{סימון מתמטי}}

ב[[תורת ההסתברות]], '''משפטי התכנסות מרטינגלים''' של [[ג'וזף דוב|ג'וזף דוּבּ]] הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של [[סופר-מרטינגל]]ים, ובפרט [[מרטינגל (תורת ההסתברות)|מרטינגל]]ים.

==נוסח פורמלי==

יהי <math>\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)</math> [[מרחב הסתברות]], ותהי <math>\left\{ F_t \right\}_{t \geq 0}</math> פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-[[סיגמא-אלגברה|סיגמא-אלגבראות]] של <math>\mathcal{F}</math>.

יהי <math>\left\{ N_t \right\}_{t \geq 0}</math>, כאשר
<math>N_t: \Omega \to \mathbb{R}</math>, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל <math>0 \leq s \leq t < \infty</math> מתקיים <math>N_s \geq \mathbf{E} \left[ N_t \mid F_s \right]</math>.

===משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון===

לכל <math>0 \leq t < \infty</math>, נגדיר <math>N_t^- := \max \left( -N_t,0 \right)</math>.

אם מתקיים כי <math>\sup_{t \geq 0} \mathbf{E} \left[ N_t^- \right] < \infty</math>, אז בהסתברות 1 קיים הגבול <math>\lim_{t \to \infty} N_t</math> במובן של [[התכנסות נקודתית]].

===משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני===

הדברים הבאים שקולים:
* <math>\left\{ N_t \right\}_{t >0}</math> [[אינטגרבילית במידה שווה]].
* קיים [[משתנה מקרי]] <math>N</math> בעל [[אינטגרל]] סופי, כך שמתקיים <math>N_t \underset{{\scriptstyle t \to \infty}}{\longrightarrow} N</math> גם במובן של [[התכנסות נקודתית]] וגם במובן של [[התכנסות בממוצע]].

===מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים===

יהי <math>\left\{ M_t \right\}_{t \geq 0}</math>, כאשר <math>M_t: \Omega \to \mathbb{R}</math>, מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל <math>0 \leq s \leq t < \infty</math> מתקיים <math>M_s = \mathbf{E} \left[ M_t \mid F_s \right]</math>.

אם קיים <math>1 < p < \infty</math> שעבורו <math>\sup_{t>0} \mathbf{E} \left[ \left| M_t \right|^p \right] < \infty</math>, אזי קיים [[משתנה מקרי]] <math>M</math> עם <math>\int_{\Omega} \left| M \right|^p d \mu < \infty</math>, כך שמתקיים <math>M_t \underset{{\scriptstyle t \to \infty}}{\longrightarrow} M</math> גם במובן של [[התכנסות נקודתית]] וגם במובן של [[התכנסות בממוצע]].

'''הערה''': אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.

===משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של [[פול לוי|לוי]]===

יהי <math>\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)</math> [[מרחב הסתברות]], ויהי <math>X</math> משתנה מקרי בעל [[תוחלת]] סופית.

תהי <math>\left\{ F_n \right\}_{n=1}^{\infty}</math> פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-[[סיגמא-אלגברה|סיגמא-אלגבראות]] של <math>\mathcal{F}</math>. נגדיר <math>F_\infty = \sigma \left(F_1,F_2,...\right)</math>.

אזי מתקיים <math>\mathbf{E} \left[ X \mid F_n \right] \underset{{\scriptstyle n \to \infty}}{\longrightarrow} \mathbf{E} \left[ X \mid F_{\infty} \right]</math> גם במובן של [[התכנסות נקודתית]] וגם במובן של [[התכנסות בממוצע]].

הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם <math>E \in F_{\infty}</math> מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, <math> \mathbb{P} \left(E \mid F_n\right) = \mathbf{E} \left[ 1_E \mid F_n \right] \underset{{\scriptstyle n \to \infty}}{\longrightarrow} \mathbf{E} \left[ 1_E \mid F_{\infty} \right] = 1_E</math>.

תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.

למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את [[חוק האפס-אחד של קולמוגורוב]], שכן נובע ממנה שעבור [[מאורע זנב]] מתקיים <math>\mathbb{P} \left( E \right) = 1_E</math> בהסתברות 1, ובמילים אחרות <math>\mathbb{P} \left( E \right) \in \left\{ 0,1 \right\}</math>.


[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים]]
[[קטגוריה:חוקי אפס-אחד]]