משפטי התכנסות מרטינגלים

בתורת ההסתברות, משפטי התכנסות מרטינגלים של ג'וזף דוּבּ הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של סופר-מרטינגלים, ובפרט מרטינגלים.

נוסח פורמלי

יהי $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ מרחב הסתברות, ותהי ${\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0}$ פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של $ℱ$.

יהי ${\left\{N_t\right\}}_{t\ge 0}$, כאשר $N_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל $0\le s\le t<\mathrm{\infty }$ מתקיים $N_s\ge 𝐄[N_t\mid F_s]$.

משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון

לכל $0\le t<\mathrm{\infty }$, נגדיר $N_t^{-}:=\max (-N_t,0)$.

אם מתקיים כי $\underset{t\ge 0}{\sup }𝐄\left[N_t^{-}\right]<\mathrm{\infty }$, אז בהסתברות 1 קיים הגבול $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}_t$ במובן של התכנסות נקודתית.

משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני

הדברים הבאים שקולים:

• ${\left\{N_t\right\}}_{t>0}$ אינטגרבילית במידה שווה.
• קיים משתנה מקרי $N$ בעל אינטגרל סופי, כך שמתקיים $N_t\underset{t\to \mathrm{\infty }}{⟶}N$ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים

יהי ${\left\{M_t\right\}}_{t\ge 0}$, כאשר $M_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל $0\le s\le t<\mathrm{\infty }$ מתקיים $M_s=𝐄[M_t\mid F_s]$.

אם קיים $1<p<\mathrm{\infty }$ שעבורו $\underset{t>0}{\sup }𝐄\left[{\left|M_t\right|}^p\right]<\mathrm{\infty }$, אזי קיים משתנה מקרי $M$ עם $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\left|M\right|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty }$, כך שמתקיים $M_t\underset{t\to \mathrm{\infty }}{⟶}M$ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הערה: אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.

משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של לוי

יהי $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ מרחב הסתברות, ויהי $X$ משתנה מקרי בעל תוחלת סופית.

תהי ${\left\{F_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של $ℱ$. נגדיר $F_{\mathrm{\infty }}=\sigma (F_1,F_2,...)$.

אזי מתקיים $𝐄[X\mid F_n]\underset{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}𝐄[X\mid F_{\mathrm{\infty }}]$ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם $E\in F_{\mathrm{\infty }}$ מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, $\mathbb{P}(E\mid F_n)=𝐄[1_E\mid F_n]\underset{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}𝐄[1_E\mid F_{\mathrm{\infty }}]=1_E$.

תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.

למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים $\mathbb{P}\left(E\right)=1_E$ בהסתברות 1, ובמילים אחרות $\mathbb{P}\left(E\right)\in \{0,1\}$.