הצגת המקור של הדף "משפט השונות השלמה"

'''משפט השונות השלמה''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת ההסתברות]] העוסק בפירוק של [[שונות]] של [[משתנה מקרי]] לגורמים של שונות של [[תוחלת מותנית]] ותוחלת של [[שונות מותנית]] במשתנה אחר.

אם ''X'' ו־''Y'' הם משתנים מקריים, והשונות של ''Y'' היא סופית, אז משפט השונות השלמה אומר כי:
:<math>\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(Y|X))+\operatorname{Var}(\operatorname{E}(Y|X)).\,</math>

==הוכחה==

על פי [[שונות|הגדרת השונות]]:
<math>\operatorname{Var}[Y] = \operatorname{E}[Y^2] - \operatorname{E}[Y]^2</math>

בעזרת [[משפט התוחלת השלמה]]:

<math>= \operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y^2|X]\right] - \operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y|X]\right]^2</math>

ניתן לשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:

<math>= \operatorname{E}\!\left[\operatorname{Var}[Y|X] + \operatorname{E}[Y|X]^2\right] - \operatorname{E}[\operatorname{E}[Y|X]]^2</math>

לפי ליניאריות התוחלת:

<math>= \operatorname{E}[\operatorname{Var}[Y|X]] + \left(\operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y|X]^2] - \operatorname{E}[\operatorname{E}[Y|X]\right]^2\right)</math>

לבסוף, ניתן לזהות את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית <math>E[Y|X]</math>:

<math>= \operatorname{E}\left[\operatorname{Var}[Y|X]\right] + \operatorname{Var}\left[\operatorname{E}[Y|X]\right]</math>

==ראו גם==
*[[משפט התוחלת השלמה]]
{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות|השונות השלמה]]