משפט השונות השלמה

משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות העוסק בפירוק של שונות של משתנה מקרי לגורמים של שונות של תוחלת מותנית ותוחלת של שונות מותנית במשתנה אחר.

אם X ו־Y הם משתנים מקריים, והשונות של Y היא סופית, אז משפט השונות השלמה אומר כי:

Var (Y) = E (Var (Y | X)) + Var (E (Y | X)) .

הוכחה

על פי הגדרת השונות: $Var [Y] = E [Y^{2}] - E [Y]^{2}$

$= E [E [Y^{2} | X]] - E {[E [Y | X]]}^{2}$

ניתן לשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:

$= E [Var [Y | X] + E [Y | X]^{2}] - E [E [Y | X]]^{2}$

לפי ליניאריות התוחלת:

$= E [Var [Y | X]] + (E {[E [Y | X]^{2}] - E [E [Y | X]]}^{2})$

לבסוף, ניתן לזהות את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית $E [Y | X]$ :

$= E [Var [Y | X]] + Var [E [Y | X]]$