הצגת המקור של הדף "משפט פאפוס"

[[קובץ:אליפסה וישר.png|ממוזער|350px|נרצה לחשב באמצעות משפט פאפוס את נפח הגוף שיתקבל אם נסובב את האליפסה סביב הישר.]]
'''משפט פאפוס''' הוא משפט ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] הקובע כי אם נסובב [[צורה (גאומטריה)|צורה דו-ממדית]] סביב ישר מסוים, נקבל ש[[נפח]] [[גוף סיבוב|גוף הסיבוב]] מתקבל לפי הנוסחה
<math>
V=2 \pi  R_{CM} A
</math>
כאשר: {{ש}}
* <math>
R_{CM}
</math> הוא המרחק של [[מרכז כובד|מרכז הכובד]] של הצורה הדו-ממדית מן הישר.
*<math>
A</math> הוא שטח הצורה.
באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים על ידי הטלה שלהם למישור [XY] וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).

==דוגמה==
נניח שעלינו לחשב את נפח העקומה הבאה: <math> (x-2)^2+4(y-1)^2=1 </math> המסובב סביב הישר <math>y=3x-1</math>.
זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.

ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה <math>A</math>, אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא לשטח אליפסה - <math>S=ab \pi </math> כאשר <math>a,b</math> הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה. {{ש}}
במקרה זה אורכי הצירים הם <math>a=1 , b=0.5</math> ולכן שטח האליפסה הוא <math>S=0.5 \pi </math>. {{ש}}
כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה. מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו <math>(2,1)</math>.

נרצה למצוא כעת את המרחק של האליפסה מהישר. זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:
<center><math>d= \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }   \rightarrow  d=\frac{|3x-y-1|}{\sqrt{1^2+3^2}}  \rightarrow 
d=\frac{|3 \times 2-1-1|}{\sqrt{10}}  \rightarrow 
d=\frac{4}{\sqrt{10}} </math></center>


לסיום, כל מה שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל: {{ש}}
<center><math>V=2 \pi  \times \frac{1}{ 2} \pi  \times  \frac{4}{ \sqrt{10} }  \rightarrow V= \frac{4}{ \sqrt{10}} \pi ^{2}  \rightarrow V \approx  1.265\pi ^{2}
</math> </center>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה|משפט פאפוס]]