משפט פאפוס

קובץ:אליפסה וישר.png

נרצה לחשב באמצעות משפט פאפוס את נפח הגוף שיתקבל אם נסובב את האליפסה סביב הישר.

משפט פאפוס הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי הקובע כי אם נסובב צורה דו-ממדית סביב ישר מסוים, נקבל שנפח גוף הסיבוב מתקבל לפי הנוסחה $V=2\pi R_{CM}A$ כאשר: תבנית:ש

• $R_{CM}$ הוא המרחק של מרכז הכובד של הצורה הדו-ממדית מן הישר.
• $A$ הוא שטח הצורה.

באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים על ידי הטלה שלהם למישור [XY] וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).

דוגמה

נניח שעלינו לחשב את נפח העקומה הבאה: $(x-2{)}^2+4(y-1{)}^2=1$ המסובב סביב הישר $y=3x-1$. זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.

ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה $A$, אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא לשטח אליפסה - $S=ab\pi$ כאשר $a,b$ הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה. תבנית:ש במקרה זה אורכי הצירים הם $a=1,b=0.5$ ולכן שטח האליפסה הוא $S=0.5\pi$. תבנית:ש כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה. מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו $(2,1)$.

נרצה למצוא כעת את המרחק של האליפסה מהישר. זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:

$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\to d=\frac{|3x-y-1|}{\sqrt{1^2+3^2}}\to d=\frac{|3\times 2-1-1|}{\sqrt{10}}\to d=\frac{4}{\sqrt{10}}$

לסיום, כל מה שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל: תבנית:ש

$V=2\pi \times \frac{1}{2}\pi \times \frac{4}{\sqrt{10}}\to V=\frac{4}{\sqrt{10}}{\pi }^2\to V\approx 1.265{\pi }^2$

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld