הצגת המקור של הדף "מתאם עצמי"

[[קובץ:Acf_new.svg|שמאל|ממוזער|400x400 פיקסלים| למעלה: סרטוט של סדרה של 100 מספרים אקראיים המסתירה פונקציית סינוס. למטה: פונקציית הסינוס מתגלה בקורלוגרם {{אנ|Correlogram}} שנוצר על ידי מתאם עצמי.]]
[[קובץ:Comparison_convolution_correlation.svg|ממוזער|400x400 פיקסלים| השוואה חזותית של קונבולציה, מתאם צולב ו'''מתאם עצמי'''. עבור הפעולות הכוללות את הפונקציה {{Mvar|f}}, ובהנחה שהגובה של {{Mvar|f}} הוא 1.0, ערך התוצאה ב-5 נקודות שונות מסומן על ידי השטח המוצלל מתחת לכל נקודה. כמו כן, הסימטריה של {{Mvar|f}} היא הסיבה לכך ש־<math>g*f</math> ו־<math>f \star g</math> זהים בדוגמה זו.]]
'''מתאם עצמי''' או '''אוטו־קורלציה''' (נכתב גם '''אוטוקורלציה'''; {{שם בשפת המקור|שם=Autocorrelation|שפה=אנגלית}}), המכונה גם '''מתאם סדרתי''' (serial correlation) במקרה של [[זמן בדיד וזמן רציף|זמן בדיד]], מודד את ה[[מתאם]] בין [[אות (תקשורת)|אות]] לבין גרסה מושהית שלו. הוא מעריך את הדמיון בין ערכי [[משתנה מקרי|משתנה אקראי]] בנקודות זמן שונות. כלי מתמטי זה מסייע בזיהוי דפוסים [[פונקציה מחזורית|חוזרים]] או מחזוריות סמויה בתוך אות שעלולים להיות מוסתרים על ידי רעש. מתאם עצמי משמש בהרחבה ב[[עיבוד אותות]], ניתוח [[סדרה עתית|סדרות עִתיות]] וניתוח ב[[מישור הזמן]] כדי לחקור את התנהגות הנתונים לאורך זמן.

הגדרת המתאם העצמי משתנה בין תחומי מחקר שונים, ולא כל ההגדרות זהות. בתחומים מסוימים נעשה שימוש במונח זה לסירוגין עם המונח [[שונות משותפת עצמית]] (אוטו־קווריאנס).

מודלים רבים של סדרות עִתיות כוללים מתאם עצמי, כגון תהליכי שורש יחידה {{אנ|unit root}}, [[תהליך סטציונרי|תהליכים סטציונריים]]-נטייתיים {{אנג|Trend-stationary process}}, [[מודל אוטו-רגרסיבי|מודלים אוטו-רגרסיביים]] ותהליכי [[ממוצע נע]].

== מתאם עצמי של תהליכים סטוכסטיים ==
ב[[סטטיסטיקה]], '''מתאם עצמי''' של [[תהליך סטוכסטי]] ממשי או מרוכב מתייחס ל[[מתאם פירסון]] בין ערכי התהליך בזמנים שונים, כתלות בשני זמני המדידה או בהפרש הזמן ביניהם.

יהי <math>\{X_t\}</math> תהליך סטוכסטי, כאשר <math>t</math> מייצגת נקודה כלשהי בזמן – [[מספר שלם|ערך שלם]] עבור תהליך ב[[זמן בדיד וזמן רציף|זמן בדיד]] או [[מספר ממשי]] עבור תהליך ב[[זמן בדיד וזמן רציף|זמן רציף]]. הערך <math>X_t</math> הוא התוצאה (או המימוש {{אנג|Realization (probability)|Realization}}) של התהליך בזמן <math>t</math>.

בהנחה שלתהליך יש [[תוחלת]] <math>\mu_t</math> ו[[שונות]] <math>\sigma_t^2</math> בכל זמן <math>t</math>, אזי '''פונקציית המתאם העצמי''' בין הזמנים <math>t_1</math> ו־<math>t_2</math> מוגדרת כך:{{הערה|שם=Gubner|{{Cite book|last=Gubner|first=John A.|title=Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers|publisher=Cambridge University Press|year=2006|isbn=978-0-521-86470-1}}}}{{הערה|שם=KunIlPark|Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, {{מסת"ב|978-3-319-68074-3}}}}

{{משוואה|הזחה=:|ריווח תא=6|צבע מסגרת=#0073CF|צבע רקע=#F5FFFA|משוואה=<math>\operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2) = \operatorname{E} \left[ X_{t_1} \overline{X}_{t_2}\right]</math>}}כאשר <math>\operatorname{E}</math> הוא אופרטור ה[[תוחלת]] והקו העליון מייצג [[צמוד מרוכב]]. התוחלת עשויה שלא להיות [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]] בכל המקרים.

אם מחסירים את התוחלת לפני הכפל, התוצאה היא '''פונקציית השונות המשותפת העצמית''' בין הזמנים <math>t_1</math> ו־<math>t_2</math>.{{הערה|שם=Gubner}}{{הערה|שם=KunIlPark}}

{{משוואה|הזחה=:|ריווח תא=6|צבע מסגרת=#0073CF|צבע רקע=#F5FFFA|משוואה=<math>
\begin{align}
\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) &= \operatorname{E} \left[ (X_{t_1} - \mu_{t_1})\overline{(X_{t_2} - \mu_{t_2})} \right] \\
&= \operatorname{E}\left[X_{t_1} \overline{X}_{t_2} \right] - \mu_{t_1}\overline{\mu}_{t_2} \\
&= \operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2) - \mu_{t_1}\overline{\mu}_{t_2}
\end{align}
</math>}}ביטוי זה אינו תמיד מוגדר היטב עבור כל הסדרות העתיות או התהליכים. התוחלת עשויה שלא להתקיים, והשונות יכולה להיות אפס (כמו במקרה של תהליך קבוע) או אינסופית (כפי שניתן לראות בתהליכים שבהם ההתפלגות חסרה מומנטים מוגדרים היטב, כגון התפלגויות מסוג חוק החזקה).

=== הגדרה לתהליך סטוכסטי סטציונרי במובן הרחב ===
[[תהליך סטציונרי|תהליך סטציונרי במובן הרחב]] <math>\left\{ X_t \right\}</math> הוא תהליך שבו התוחלת <math>\mu</math> והשונות <math>\sigma^2</math> אינן תלויות בזמן. בנוסף, פונקציית [[שונות משותפת עצמית|השונות המשותפת העצמית]] שלו תלויה רק בהפרש הזמנים (ההשהיה) בין שתי נקודות, <math>t_1</math> ו־<math>t_2</math>, ולא במיקומן המוחלט בזמן. מכאן נובע כי פונקציות השונות המשותפת העצמית והמתאם העצמי ניתנות לייצוג כפונקציות של השהיית הזמן <math>\tau=t_2-t_1</math>, והן [[פונקציות זוגיות ואי-זוגיות|פונקציות זוגיות]] של <math>\tau</math>. כתוצאה מכך, '''פונקציית המתאם העצמי''' מקבלת את הצורה המוכרת:{{הערה|שם=Gubner}}

{{משוואה|הזחה=:|ריווח תא=6|צבע מסגרת=#0073CF|צבע רקע=#F5FFFA|משוואה=<math>\operatorname{R}_{XX}(\tau) = \operatorname{E}\left[X_{t+\tau} \overline{X}_{t} \right]</math>}}

ו'''פונקציית השונות המשותפת העצמית''':

{{משוואה|הזחה=:|ריווח תא=6|צבע מסגרת=#0073CF|צבע רקע=#F5FFFA|משוואה=<math>
\begin{align}
\operatorname{K}_{XX}(\tau) &= \operatorname{E}\left[ (X_{t+\tau} - \mu)\overline{(X_{t} - \mu)} \right] \\
&= \operatorname{E} \left[ X_{t+\tau} \overline{X}_{t} \right] - \mu\overline{\mu} \\
&= \operatorname{R}_{XX}(\tau) - \mu\overline{\mu}
\end{align}
</math>}}

ובפרט:

:<math>\operatorname{K}_{XX}(0) = \sigma^2</math>

=== נרמול ===
בכמה תחומים, כגון [[סטטיסטיקה]] ו[[סדרה עתית|ניתוח סדרות עתיות]], נהוג לנרמל את פונקציית השונות המשותפת העצמית כדי לקבל [[מתאם פירסון|מקדם מתאם פירסון]] שתלוי בזמן. לעומת זאת, בתחומים אחרים, כמו הנדסה, לרוב אין מבצעים נרמול, והמונחים מתאם עצמי (אוטו־קורלציה) ושונות משותפת עצמית (אוטו־קווריאנס) משמשים לעיתים לסירוגין.

מקדם המתאם העצמי של תהליך סטוכסטי מוגדר כך:{{הערה|שם=KunIlPark}}

:<math>\rho_{XX}(t_1,t_2) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2)}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}} = \frac{\operatorname{E}\left[(X_{t_1} - \mu_{t_1}) \overline{(X_{t_2} - \mu_{t_2})} \right]}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}}</math>

כאשר פונקציה זו <math>\rho_{XX}</math> מוגדרת היטב, ערכיה נמצאים בטווח <math>[-1,1]</math>, כך ש־1 מציין מתאם מושלם ו־1- מציין אנטי-מתאם מושלם.

עבור תהליך [[תהליך סטציונרי|סטציונרי במובן הרחב]] (WSS), מקדם המתאם העצמי מקבל את הצורה הפשוטה:

:<math>\rho_{XX}(\tau) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(\tau)}{\sigma^2} = \frac{\operatorname{E} \left[(X_{t+\tau} - \mu)\overline{(X_{t} - \mu)}\right]}{\sigma^2}</math>.

הנרמול חשוב משום שהוא מאפשר לפרש את המתאם העצמי כמדד חסר קנה מידה של [[אי-תלות (הסתברות)|תלות סטטיסטית]]. בנוסף, לנרמול יש השפעה על התכונות הסטטיסטיות של המתאים העצמיים המחושבים.

=== תכונות ===
==== סימטריה ====
פונקציית המתאם העצמי <math>\operatorname{R}_{XX}</math> היא [[פונקציות זוגיות ואי-זוגיות|פונקציה זוגית]], כלומר:{{הערה|שם=KunIlPark}}

:<math>\operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2) = \overline{\operatorname{R}_{XX}(t_2,t_1)}</math>

ובמקרה של תהליך [[תהליך סטציונרי|WSS]]:{{הערה|שם=KunIlPark}}

:<math >\operatorname{R}_{XX}(\tau) = \overline{\operatorname{R}_{XX}(-\tau)}</math>

==== מקסימום באפס ====
עבור תהליך WSS:{{הערה|שם=KunIlPark}}

:<math>\left|\operatorname{R}_{XX}(\tau)\right| \leq \operatorname{R}_{XX}(0)</math>

בנוסף, <math>\operatorname{R}_{XX}(0)</math> הוא תמיד ממשי.

==== אי-שוויון קושי-שוורץ ====
לכל תהליך סטוכסטי מתקיים [[אי-שוויון קושי-שוורץ]]:{{הערה|שם=Gubner}}

:<math>\left|\operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2)\right|^2 \leq \operatorname{E}\left[ |X_{t_1}|^2\right] \operatorname{E}\left[|X_{t_2}|^2\right]</math>

==== מתאם עצמי של רעש לבן ====
עבור [[רעש לבן]] בזמן רציף, לפונקציית המתאם העצמי יהיה שיא חד ב־<math>\tau=0</math> המיוצג על ידי [[פונקציית דלתא של דיראק]], והיא תהיה אפס עבור כל ערך אחר של <math>\tau</math>.

==== משפט וינר-חינצ'ין ====
[[משפט וינר-חינצ'ין]] {{אנ|Wiener–Khinchin theorem}} קובע כי פונקציית המתאם העצמי <math>\operatorname{R}_{XX}</math> קשורה לצפיפות ההספק הספקטרית <math>S_{XX}</math> דרך [[התמרת פורייה]]:

:<math>\operatorname{R}_{XX}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XX}(f) e^{i 2 \pi f \tau} \, {\rm d}f</math>

:<math>S_{XX}(f) = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{R}_{XX}(\tau) e^{- i 2 \pi f \tau} \, {\rm d}\tau </math>

במקרה של פונקציות ממשיות, <math>\operatorname{R}_{XX}</math> סימטרית ולכן ההתמרה מכילה רק רכיבי קוסינוס ממשיים (כלומר שאינם מוכפלים ב[[היחידה המדומה|יחידה המדומה]]):

:<math>\operatorname{R}_{XX}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XX}(f) \cos(2 \pi f \tau) \, {\rm d}f</math>

:<math>S_{XX}(f) = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{R}_{XX}(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, {\rm d}\tau </math>

== יישומים ==
היכולת של מתאם עצמי לזהות תבניות חוזרות ב[[נתונים]] הובילה ליישומים רבים בתחומים שונים:
* ספקטרוסקופיית מתאם פלואורסצנטי {{אנג|Fluorescence correlation spectroscopy|FCS}}:{{הערה|{{Cite journal|last=Elson|first=Elliot L.|date=December 2011|title=Fluorescence Correlation Spectroscopy: Past, Present, Future|journal=Biophysical Journal|language=en|volume=101|issue=12|pages=2855–2870|bibcode=2011BpJ...101.2855E|doi=10.1016/j.bpj.2011.11.012|pmc=3244056|pmid=22208184}}}} משמשת לניתוח דיפוזיה מולקולרית ותגובות כימיות.{{הערה|{{Cite journal|last1=Hołyst|first1=Robert|last2=Poniewierski|first2=Andrzej|last3=Zhang|first3=Xuzhu|date=2017|title=Analytical form of the autocorrelation function for the fluorescence correlation spectroscopy|journal=Soft Matter|language=en|volume=13|issue=6|pages=1267–1275|bibcode=2017SMat...13.1267H|doi=10.1039/C6SM02643E|issn=1744-683X|pmid=28106203|doi-access=free}}}}
* מדידת ספקטרום אופטי ופולסי לייזר: אוטוקורלטורים אופטיים {{אנ|Optical autocorrelation}} מסייעים במדידת [[הספקטרום הנראה|ספקטרומים אופטיים]] ו[[פולס אולטרה-קצר|פולסים אולטרה-קצרים]].
* פיזור אור דינמי {{אנג|Dynamic light scattering|DLS}}: קובע התפלגות של גודלי חלקיקים בתרחיפים ננומטריים באמצעות ניתוח תבניות נקודתיות של לייזר.
* עיבוד אותות ב-[[GPS]]: מסייע בתיקון השהיית התפשטות (propagation delay) על ידי יישור אות משוחזר של המקלט עם אות הלוויין.
* פיזור [[קרני רנטגן]] וניתוח ננו-מבנים: התמרת פורייה של פונקציית המתאם העצמי המרחבי משמש לחקר צפיפות אלקטרונים.
* מדעי השטח {{אנ|Surface science}} ומיקרוסקופיה: קושר בין מורפולוגיית משטח לתכונות פונקציונליות במיקרוסקופיית סריקה.
* אופטיקה וניתוח קוהרנטיות: מתאמים עצמיים מנורמלים מודדים את הקוהרנטיות של [[שדה אלקטרומגנטי|שדות אלקטרומגנטיים]].
* [[אסטרונומיה]]: קובע [[תדירות|תדירויות]] [[פולסר]]<nowiki/>ים.
* מוזיקה ועיבוד אותות: משמש בזיהוי גובה צליל (לדוגמה, מכווני כלים, [[אוטו-טיון|Auto-Tune]]) ובחישוב קצב מוזיקלי.
* עקיפת קרני X: [[פונקציית פטרסון]] מסייעת לשחזר מידע חסר של מופעי פורייה (Fourier phases) במבנים אטומיים.
* סטטיסטיקה וניתוח מרחבי: מתאם עצמי מרחבי מסייע בהערכת אי-ודאות במדגמים של אוכלוסיות הטרוגניות.
* ספקטרומטריית מסה: אלגוריתם SEQUEST מדרג ספקטרומים של [[פפטיד]]<nowiki/>ים באמצעות מתאם עצמי.
* אסטרופיזיקה: משמש לניתוח התפלגות גלקסיות ולחקר מקורות X באנרגיה נמוכה.
* שרשראות מרקוב מונטה קרלו {{אנג|Markov chain Monte Carlo|MCMC}}: מתאם עצמי נלקח בחשבון עבור הערכת שגיאות מדויקת.
* [[גאופיזיקה]] וניתוח סייסמי: מתאם עצמי מחושב לצורך ניתוח תכונות סייסמיות בסקרים תת-קרקעיים בתלת-ממד.
* [[בדיקת אולטרה סאונד רפואית|אולטרסאונד רפואי]]: מתאם עצמי משמש להדמיית זרימת דם.
* אופטימיזציה של תיקי השקעות: מתאם עצמי בתשואות נכסים משפיע על החלטות השקעה.
* מדידת תדר במערכות חשמל: משמש בממסרי מדידה נומריים לאנליזה מדויקת של תדרי מערכת החשמל.

== ראו גם ==
*

== לקריאה נוספת ==
* {{Cite book|last=Kmenta|first=Jan|url=https://archive.org/details/elementsofeconom0003kmen/page/298|title=Elements of Econometrics|publisher=Macmillan|year=1986|isbn=978-0-02-365070-3|edition=Second|location=New York|pages=[https://archive.org/details/elementsofeconom0003kmen/page/298 298–334]|author-link=Jan Kmenta|url-access=registration}}
* {{Cite book|last=Marno Verbeek|url=https://books.google.com/books?id=SQxDDwAAQBAJ|title=A Guide to Modern Econometrics|date=10 August 2017|publisher=Wiley|isbn=978-1-119-40110-0|author-link=Marno Verbeek}}
* {{Cite journal|last=Soltanalian|first=Mojtaba|last2=Stoica|first2=Petre|date=2012|title=Computational Design of Sequences with Good Correlation Properties|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/6142119|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=60|issue=5|page=2180|bibcode=2012ITSP...60.2180S|doi=10.1109/TSP.2012.2186134}}
* Solomon W. Golomb, and Guang Gong. [http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/computer-science/cryptography-cryptology-and-coding/signal-design-good-correlation-wireless-communication-cryptography-and-radar Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar]. Cambridge University Press, 2005.
* Klapetek, Petr (2018). ''[https://www.elsevier.com/books/quantitative-data-processing-in-scanning-probe-microscopy/klapetek/978-0-12-813347-7 Quantitative Data Processing in Scanning Probe Microscopy: SPM Applications for Nanometrology]'' (Second ed.). Elsevier. pp.&nbsp;108–112 {{מסת"ב|9780128133477}}.
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>Weisstein, Eric W. "Autocorrelation". MathWorld.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:עיבוד אותות]]