מתאם עצמי

למעלה: סרטוט של סדרה של 100 מספרים אקראיים המסתירה פונקציית סינוס. למטה: פונקציית הסינוס מתגלה בקורלוגרם תבנית:אנ שנוצר על ידי מתאם עצמי.

השוואה חזותית של קונבולציה, מתאם צולב ומתאם עצמי. עבור הפעולות הכוללות את הפונקציה תבנית:Mvar, ובהנחה שהגובה של תבנית:Mvar הוא 1.0, ערך התוצאה ב-5 נקודות שונות מסומן על ידי השטח המוצלל מתחת לכל נקודה. כמו כן, הסימטריה של תבנית:Mvar היא הסיבה לכך ש־$g*f$ ו־$f\star g$ זהים בדוגמה זו.

מתאם עצמי או אוטו־קורלציה (נכתב גם אוטוקורלציה; תבנית:שם בשפת המקור), המכונה גם מתאם סדרתי (serial correlation) במקרה של זמן בדיד, מודד את המתאם בין אות לבין גרסה מושהית שלו. הוא מעריך את הדמיון בין ערכי משתנה אקראי בנקודות זמן שונות. כלי מתמטי זה מסייע בזיהוי דפוסים חוזרים או מחזוריות סמויה בתוך אות שעלולים להיות מוסתרים על ידי רעש. מתאם עצמי משמש בהרחבה בעיבוד אותות, ניתוח סדרות עִתיות וניתוח במישור הזמן כדי לחקור את התנהגות הנתונים לאורך זמן.

הגדרת המתאם העצמי משתנה בין תחומי מחקר שונים, ולא כל ההגדרות זהות. בתחומים מסוימים נעשה שימוש במונח זה לסירוגין עם המונח שונות משותפת עצמית (אוטו־קווריאנס).

מודלים רבים של סדרות עִתיות כוללים מתאם עצמי, כגון תהליכי שורש יחידה תבנית:אנ, תהליכים סטציונריים-נטייתיים תבנית:אנג, מודלים אוטו-רגרסיביים ותהליכי ממוצע נע.

מתאם עצמי של תהליכים סטוכסטיים

בסטטיסטיקה, מתאם עצמי של תהליך סטוכסטי ממשי או מרוכב מתייחס למתאם פירסון בין ערכי התהליך בזמנים שונים, כתלות בשני זמני המדידה או בהפרש הזמן ביניהם.

יהי $\{X_t\}$ תהליך סטוכסטי, כאשר $t$ מייצגת נקודה כלשהי בזמן – ערך שלם עבור תהליך בזמן בדיד או מספר ממשי עבור תהליך בזמן רציף. הערך $X_t$ הוא התוצאה (או המימוש תבנית:אנג) של התהליך בזמן $t$.

בהנחה שלתהליך יש תוחלת ${\mu }_t$ ושונות ${\sigma }_t^2$ בכל זמן $t$, אזי פונקציית המתאם העצמי בין הזמנים $t_1$ ו־$t_2$ מוגדרת כך:תבנית:הערהתבנית:הערה

${\mathrm{R}}_{XX}(t_1,t_2)=\mathrm{E}\left[X_{t_1}{\bar{X}}_{t_2}\right]$

כאשר

$\mathrm{E}$

הוא אופרטור התוחלת והקו העליון מייצג צמוד מרוכב. התוחלת עשויה שלא להיות מוגדרת היטב בכל המקרים.

אם מחסירים את התוחלת לפני הכפל, התוצאה היא פונקציית השונות המשותפת העצמית בין הזמנים $t_1$ ו־$t_2$.תבנית:הערהתבנית:הערה

$\begin{array}{cc}{\mathrm{K}}_{XX}(t_1,t_2)& =\mathrm{E}[(X_{t_1}-{\mu }_{t_1})\overline{(X_{t_2}-{\mu }_{t_2})}]\\ & =\mathrm{E}\left[X_{t_1}{\bar{X}}_{t_2}\right]-{\mu }_{t_1}{\bar{\mu }}_{t_2}\\ & ={\mathrm{R}}_{XX}(t_1,t_2)-{\mu }_{t_1}{\bar{\mu }}_{t_2}\end{array}$

ביטוי זה אינו תמיד מוגדר היטב עבור כל הסדרות העתיות או התהליכים. התוחלת עשויה שלא להתקיים, והשונות יכולה להיות אפס (כמו במקרה של תהליך קבוע) או אינסופית (כפי שניתן לראות בתהליכים שבהם ההתפלגות חסרה מומנטים מוגדרים היטב, כגון התפלגויות מסוג חוק החזקה).

הגדרה לתהליך סטוכסטי סטציונרי במובן הרחב

תהליך סטציונרי במובן הרחב $\left\{X_t\right\}$ הוא תהליך שבו התוחלת $\mu$ והשונות ${\sigma }^2$ אינן תלויות בזמן. בנוסף, פונקציית השונות המשותפת העצמית שלו תלויה רק בהפרש הזמנים (ההשהיה) בין שתי נקודות, $t_1$ ו־$t_2$, ולא במיקומן המוחלט בזמן. מכאן נובע כי פונקציות השונות המשותפת העצמית והמתאם העצמי ניתנות לייצוג כפונקציות של השהיית הזמן $\tau =t_2-t_1$, והן פונקציות זוגיות של $\tau$. כתוצאה מכך, פונקציית המתאם העצמי מקבלת את הצורה המוכרת:תבנית:הערה

${\mathrm{R}}_{XX}(\tau )=\mathrm{E}\left[X_{t+\tau }{\bar{X}}_t\right]$

ופונקציית השונות המשותפת העצמית:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{K}}_{XX}(\tau )& =\mathrm{E}[(X_{t+\tau }-\mu )\overline{(X_t-\mu )}]\\ & =\mathrm{E}\left[X_{t+\tau }{\bar{X}}_t\right]-\mu \bar{\mu }\\ & ={\mathrm{R}}_{XX}(\tau )-\mu \bar{\mu }\end{array}$

ובפרט:

${\mathrm{K}}_{XX}(0)={\sigma }^2$

נרמול

בכמה תחומים, כגון סטטיסטיקה וניתוח סדרות עתיות, נהוג לנרמל את פונקציית השונות המשותפת העצמית כדי לקבל מקדם מתאם פירסון שתלוי בזמן. לעומת זאת, בתחומים אחרים, כמו הנדסה, לרוב אין מבצעים נרמול, והמונחים מתאם עצמי (אוטו־קורלציה) ושונות משותפת עצמית (אוטו־קווריאנס) משמשים לעיתים לסירוגין.

מקדם המתאם העצמי של תהליך סטוכסטי מוגדר כך:תבנית:הערה

${\rho }_{XX}(t_1,t_2)=\frac{{\mathrm{K}}_{XX}(t_1,t_2)}{{\sigma }_{t_1}{\sigma }_{t_2}}=\frac{\mathrm{E}[(X_{t_1}-{\mu }_{t_1})\overline{(X_{t_2}-{\mu }_{t_2})}]}{{\sigma }_{t_1}{\sigma }_{t_2}}$

כאשר פונקציה זו ${\rho }_{XX}$ מוגדרת היטב, ערכיה נמצאים בטווח $[-1,1]$, כך ש־1 מציין מתאם מושלם ו־1- מציין אנטי-מתאם מושלם.

עבור תהליך סטציונרי במובן הרחב (WSS), מקדם המתאם העצמי מקבל את הצורה הפשוטה:

${\rho }_{XX}(\tau )=\frac{{\mathrm{K}}_{XX}(\tau )}{{\sigma }^2}=\frac{\mathrm{E}[(X_{t+\tau }-\mu )\overline{(X_t-\mu )}]}{{\sigma }^2}$.

הנרמול חשוב משום שהוא מאפשר לפרש את המתאם העצמי כמדד חסר קנה מידה של תלות סטטיסטית. בנוסף, לנרמול יש השפעה על התכונות הסטטיסטיות של המתאים העצמיים המחושבים.

תכונות

סימטריה

פונקציית המתאם העצמי ${\mathrm{R}}_{XX}$ היא פונקציה זוגית, כלומר:תבנית:הערה

${\mathrm{R}}_{XX}(t_1,t_2)=\overline{{\mathrm{R}}_{XX}(t_2,t_1)}$

ובמקרה של תהליך WSS:תבנית:הערה

${\mathrm{R}}_{XX}(\tau )=\overline{{\mathrm{R}}_{XX}(-\tau )}$

מקסימום באפס

עבור תהליך WSS:תבנית:הערה

$|{\mathrm{R}}_{XX}(\tau )|\le {\mathrm{R}}_{XX}(0)$

בנוסף, ${\mathrm{R}}_{XX}(0)$ הוא תמיד ממשי.

אי-שוויון קושי-שוורץ

לכל תהליך סטוכסטי מתקיים אי-שוויון קושי-שוורץ:תבנית:הערה

${|{\mathrm{R}}_{XX}(t_1,t_2)|}^2\le \mathrm{E}[|X_{t_1}{|}^2]\mathrm{E}[|X_{t_2}{|}^2]$

מתאם עצמי של רעש לבן

עבור רעש לבן בזמן רציף, לפונקציית המתאם העצמי יהיה שיא חד ב־$\tau =0$ המיוצג על ידי פונקציית דלתא של דיראק, והיא תהיה אפס עבור כל ערך אחר של $\tau$.

משפט וינר-חינצ'ין

משפט וינר-חינצ'ין תבנית:אנ קובע כי פונקציית המתאם העצמי ${\mathrm{R}}_{XX}$ קשורה לצפיפות ההספק הספקטרית $S_{XX}$ דרך התמרת פורייה:

${\mathrm{R}}_{XX}(\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_{XX}(f)e^{i2\pi f\tau }\mathrm{d}f$

$S_{XX}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{R}}_{XX}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\mathrm{d}\tau$

במקרה של פונקציות ממשיות, ${\mathrm{R}}_{XX}$ סימטרית ולכן ההתמרה מכילה רק רכיבי קוסינוס ממשיים (כלומר שאינם מוכפלים ביחידה המדומה):

${\mathrm{R}}_{XX}(\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_{XX}(f)\cos (2\pi f\tau )\mathrm{d}f$

$S_{XX}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{R}}_{XX}(\tau )\cos (2\pi f\tau )\mathrm{d}\tau$

יישומים

היכולת של מתאם עצמי לזהות תבניות חוזרות בנתונים הובילה ליישומים רבים בתחומים שונים:

• ספקטרוסקופיית מתאם פלואורסצנטי תבנית:אנג:תבנית:הערה משמשת לניתוח דיפוזיה מולקולרית ותגובות כימיות.תבנית:הערה
• מדידת ספקטרום אופטי ופולסי לייזר: אוטוקורלטורים אופטיים תבנית:אנ מסייעים במדידת ספקטרומים אופטיים ופולסים אולטרה-קצרים.
• פיזור אור דינמי תבנית:אנג: קובע התפלגות של גודלי חלקיקים בתרחיפים ננומטריים באמצעות ניתוח תבניות נקודתיות של לייזר.
• עיבוד אותות ב-GPS: מסייע בתיקון השהיית התפשטות (propagation delay) על ידי יישור אות משוחזר של המקלט עם אות הלוויין.
• פיזור קרני רנטגן וניתוח ננו-מבנים: התמרת פורייה של פונקציית המתאם העצמי המרחבי משמש לחקר צפיפות אלקטרונים.
• מדעי השטח תבנית:אנ ומיקרוסקופיה: קושר בין מורפולוגיית משטח לתכונות פונקציונליות במיקרוסקופיית סריקה.
• אופטיקה וניתוח קוהרנטיות: מתאמים עצמיים מנורמלים מודדים את הקוהרנטיות של שדות אלקטרומגנטיים.
• אסטרונומיה: קובע תדירויות פולסרים.
• מוזיקה ועיבוד אותות: משמש בזיהוי גובה צליל (לדוגמה, מכווני כלים, Auto-Tune) ובחישוב קצב מוזיקלי.
• עקיפת קרני X: פונקציית פטרסון מסייעת לשחזר מידע חסר של מופעי פורייה (Fourier phases) במבנים אטומיים.
• סטטיסטיקה וניתוח מרחבי: מתאם עצמי מרחבי מסייע בהערכת אי-ודאות במדגמים של אוכלוסיות הטרוגניות.
• ספקטרומטריית מסה: אלגוריתם SEQUEST מדרג ספקטרומים של פפטידים באמצעות מתאם עצמי.
• אסטרופיזיקה: משמש לניתוח התפלגות גלקסיות ולחקר מקורות X באנרגיה נמוכה.
• שרשראות מרקוב מונטה קרלו תבנית:אנג: מתאם עצמי נלקח בחשבון עבור הערכת שגיאות מדויקת.
• גאופיזיקה וניתוח סייסמי: מתאם עצמי מחושב לצורך ניתוח תכונות סייסמיות בסקרים תת-קרקעיים בתלת-ממד.
• אולטרסאונד רפואי: מתאם עצמי משמש להדמיית זרימת דם.
• אופטימיזציה של תיקי השקעות: מתאם עצמי בתשואות נכסים משפיע על החלטות השקעה.
• מדידת תדר במערכות חשמל: משמש בממסרי מדידה נומריים לאנליזה מדויקת של תדרי מערכת החשמל.

לקריאה נוספת

• תבנית:Cite book
• תבנית:Cite book
• תבנית:Cite journal
• Solomon W. Golomb, and Guang Gong. Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge University Press, 2005.
• Klapetek, Petr (2018). Quantitative Data Processing in Scanning Probe Microscopy: SPM Applications for Nanometrology (Second ed.). Elsevier. pp. 108–112 תבנית:מסת"ב.
• Weisstein, Eric W. "Autocorrelation". MathWorld.