הצגת המקור של הדף "נוסחאות ויאטה"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
[[קובץ:Francois_Viete.jpeg|ממוזער|פרנסואה וייט]]
ב[[אלגברה]], '''נוסחאות ויאטה''' (על שם ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפת]]י [[פרנסואה וייט]]) הן [[נוסחה|נוסחאות]] המקשרות בין מקדמי [[פולינום|פולינומים]] לבין [[שורש (של פונקציה)|שורשיהם]] ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] [[שדה סגור אלגברית|סגורים אלגברית]] כמו [[שדה המספרים המרוכבים]]<ref>{{MathWorld}}</ref>.

עבור פולינום מהצורה <math>p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>, עם שורשים <math>x_1,\ldots,x_n</math> (כולל ריבוי), מתקיים:
:<math>\begin{cases}x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}+x_n=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\\(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_1x_n)+(x_2x_3+x_2x_4+\cdots+x_2x_n)+\cdots+x_{n-1}x_n=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}\\(x_1x_2x_3+\cdots+x_1x_2x_n)+(x_1x_3x_4+\cdots+x_1x_3x_n)+\cdots+(x_2x_3x_4+\cdots+x_2x_{n-1}x_n)+\cdots+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-\dfrac{a_{n-3}}{a_n}\\\vdots\\x_1\cdots x_n=(-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}\end{cases}</math>
הנוסחה לכל אחד ואחד היא:
:<math>\sum\limits_{1\,\le\,i_1\,<\,\cdots\,<\,i_k\,\le\,n}^n\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x_{i_1}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}</math>
לדוגמה, מתקיים:
:<math>\sum_{j\,=\,1}^nx_j=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\quad\prod\limits_{j\,=\,1}^nx_j=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}</math>
בפרט, עבור [[משוואה ממעלה שנייה]] <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> מתקיים:
:<math>x_1+x_2=-\frac{b}{a}\ ,\ x_1x_2=\frac{c}{a}</math>
מאחר שעבור כל [[מטריצה]], [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] שלה הם שורשי [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]], לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:
:<math>\sum_{j\,=\,1}^nx_j={\rm tr}(A),\quad\prod_{j\,=\,1}^nx_j=\det(A)</math>
כאשר <math>A</math> היא המטריצה ו-<math>x_j</math> הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא ה[[דטרמיננטה]], המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] של המטריצה.

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה|שם ויקיספר=נוסחאות ויאטה}}
*{{MathWorld}}
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:אלגברה בסיסית]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|ויאטה]]
[[קטגוריה:פרנסואה וייט]]