נוסחאות ויאטה

באלגברה, נוסחאות ויאטה (על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט) הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו שדה המספרים המרוכבים^[1].

עבור פולינום מהצורה $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , עם שורשים $x_{1}, \dots, x_{n}$ (כולל ריבוי), מתקיים:

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} + x_{n} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \\ (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n}) + \dots + x_{n - 1} x_{n} = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} \\ (x_{1} x_{2} x_{3} + \dots + x_{1} x_{2} x_{n}) + (x_{1} x_{3} x_{4} + \dots + x_{1} x_{3} x_{n}) + \dots + (x_{2} x_{3} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n - 1} x_{n}) + \dots + x_{n - 2} x_{n - 1} x_{n} = - \frac{a_{n - 3}}{a_{n}} \\ ⋮ \\ x_{1} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{matrix}

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

\sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}^{n} x_{i_{1}} \dots x_{i_{k}} = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}

לדוגמה, מתקיים:

\sum_{j = 1}^{n} x_{j} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}, \prod_{j = 1}^{n} x_{j} = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}

בפרט, עבור משוואה ממעלה שנייה $p (x) = a x^{2} + b x + c$ מתקיים:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

\sum_{j = 1}^{n} x_{j} = t r (A), \prod_{j = 1}^{n} x_{j} = \det (A)

כאשר $A$ היא המטריצה ו- $x_{j}$ הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.