הצגת המקור של הדף "נוסחת אוילר-רודריגס"

ב[[מתמטיקה]] וב[[מכניקה]], '''נוסחת אוילר &#x2013; רודריגס''' מתארת סיבוב של וקטור במרחב תלת־ממדי. הוא מבוסס על נוסחת הסיבוב של רודריגס, אך משתמש בפרמטריזציה אחרת.

הסיבוב מתואר על ידי ארבעה '''פרמטרי אוילר''' שיצר [[לאונרד אוילר]] .

נוסחת הסיבוב של רודריגס (על שם אולינדה רודריגס), היא שיטה לחישוב המיקום של נקודה המסתובבת, השיטה משומשת ביישומי תוכנה מסוימים, כגון [[מאמן טיסה|סימולטורים של טיסה]] ומשחקי [[משחק מחשב|מחשב]] .

== הַגדָרָה ==
סיבוב סביב המקור מיוצג על ידי ארבעה מספרים ממשיים, {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}}, {{Mvar|d}} כך ש-

: <math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1.</math>

כאשר הסיבוב מוחל, נקודה במיקום <math>\vec{x}</math> מסתובבת למיקומה החדש,

: <math>\vec x' = \begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(bc-ad) & 2(bd + ac) \\
 2(bc+ad) & a^2+c^2-b^2-d^2 & 2(cd - ab) \\
 2(bd-ac) & 2(cd+ab) & a^2+d^2-b^2-c^2 \end{pmatrix}\vec x.</math>

=== ניסוח וקטורי ===
ניתן לקרוא לפרמטר {{Mvar|a}} פרמטר ''סקלרי'' ול- <math>\vec{w}{{=}}(b,c,d)</math> הפרמטר ''הווקטורי'' . בסימון הווקטור הסטנדרטי, נוסחת הסיבוב של רודריגס לובשת את הצורה הקומפקטית{{מקור}}.

{{Math|<math>\vec x ' = \vec x + 2a(\vec \omega\times\vec x) + 2\left (\vec \omega\times(\vec \omega\times\vec x)\right )</math>}}

=== סִימֶטרִיָה ===
הפרמטרים {{נוסחה|(''a'', ''b'', ''c'', ''d'')}} ו- {{נוסחה|(−''a'', −''b'', −''c'', −''d'')}} מתארים את אותו סיבוב. מלבד סימטריה זו, כל קבוצה שונה של ארבעה פרמטרים מתארת סיבוב ייחודי במרחב התלת־ממדי.

=== הרכבת סיבובים ===
ההרכב של שני סיבובים הוא עצמו סיבוב. יהי {{נוסחה|(''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''c''<sub>1</sub>, ''d''<sub>1</sub>)}} ו- {{נוסחה|(''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''c''<sub>2</sub>, ''d''<sub>2</sub>)}} שני סיבובים המורכבים מהפרמטרים של אוילר. הפרמטרים של סיבוב ההרכבה (סיבוב 2 לאחר סיבוב 1) הם כדלקמן:

: <math>\begin{align}
a & = a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2; \\
b & = a_1b_2 + b_1a_2 - c_1d_2 + d_1c_2; \\
c & = a_1c_2 + c_1a_2 - d_1b_2 + b_1d_2; \\
d & = a_1d_2 + d_1a_2 - b_1c_2 + c_1b_2.
\end{align}</math>

זה פשוט, אם כי מייגע, לבדוק ש- {{נוסחה|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> {{=}} 1}} . (זו בעצם [[זהות ארבעת הריבועים של אוילר]] .)

== זווית סיבוב וציר הסיבוב ==
כל סיבוב מרכזי בתלת מימד נקבע באופן ייחודי על ידי ציר הסיבוב שלו (מיוצג על ידי [[וקטור יחידה]] <math>\vec{k}{{=}}(k_x,k_y,k_z)</math> ) וזווית הסיבוב {{נוסחה|''φ''}} . הפרמטרים של אוילר עבור סיבוב זה מחושבים באופן הבא:

: <math>\begin{align}
a & = \cos \frac{\varphi}{2}; \\
b & = k_x \sin \frac{\varphi}{2}; \\
c & = k_y \sin \frac{\varphi}{2}; \\
d & = k_z \sin \frac{\varphi}{2}.
\end{align}</math>

שימו לב שאם {{נוסחה|''φ''}} גדל בסיבוב מלא של 360 מעלות, הטיעונים של סינוס וקוסינוס גדלים רק ב-180 מעלות. הפרמטרים המתקבלים הם הפוכים מהערכים המקוריים, {{נוסחה|(−''a'', −''b'', −''c'', −''d'')}} ; ולכן הם מייצגים את אותו סיבוב.

בפרט, טרנספורמציה של הזהות (סיבוב אפס, {{נוסחה|''φ'' {{=}} 0}} ) תואמת לערכי פרמטר {{נוסחה|(''a'', ''b'', ''c'', ''d'') {{=}} (±1, 0, 0, 0)}} . סיבובים של 180 מעלות סביב כל ציר מביאים ל- {{נוסחה|''a'' {{=}} 0}} .

== ראו גם ==
* פורמליזם של סיבוב בתלת מימד
* [[קווטרניונים וסיבובים מרחביים|קווטרניונים וסיבוב מרחבי]]
* [[ורסור]]
* ספינורים בתלת מימד
* SO(4)
* [[חבורת הסיבוב (3)SO|קבוצת סיבוב תלת מימד]]
* דגם Beltrami–Klein (דגם Cayley–Klein)
* מדד Cayley–Klein
* [[זהות ארבעת הריבועים של אוילר]] 

== לקריאה נוספת ==
* {{Cite book|last=Cartan|first=Élie|title=The Theory of Spinors|publisher=Dover|year=1981|isbn=0-486-64070-1|author-link=Élie Cartan}}
* {{Cite book|last=Hamilton|first=W. R.|title=Elements of Quaternions|publisher=Cambridge University Press|year=1899|author-link=William Rowan Hamilton}}
* {{Cite book|last=Haug|first=E.J.|title=Computer-Aided Analysis and Optimization of Mechanical Systems Dynamics.|publisher=Springer-Verlag|year=1984}}
* {{Cite journal|last=Garza|first=Eduardo|last2=Pacheco Quintanilla|first2=M. E.|date=June 2011|title=Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana|url=http://rmf.smf.mx/pdf/rmf-e/57/1/57_1_0109.pdf|url-status=dead|format=pdf|journal=Revista Mexicana de Física|language=es|pages=109–113|archive-url=https://web.archive.org/web/20120423215549/http://rmf.smf.mx/pdf/rmf-e/57/1/57_1_0109.pdf|archive-date=2012-04-23}}
* {{Cite journal|last=Shuster|first=Malcolm D.|date=1993|title=A Survey of Attitude Representations|url=http://malcolmdshuster.com/Pub_1993h_J_Repsurv_scan.pdf|journal=Journal of the Astronautical Sciences|language=en|volume=41|issue=4|pages=439–517}}
* {{Cite journal|last=Dai|first=Jian S.|date=October 2015|title=Euler–Rodrigues formula variations, quaternion conjugation and intrinsic connections|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0094114X15000415|journal=Mechanism and Machine Theory|language=en|volume=92|pages=144–152|doi=10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004|doi-access=free}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{ערך יתום}}
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]