נוסחת אוילר-רודריגס

במתמטיקה ובמכניקה, נוסחת אוילר – רודריגס מתארת סיבוב של וקטור במרחב תלת־ממדי. הוא מבוסס על נוסחת הסיבוב של רודריגס, אך משתמש בפרמטריזציה אחרת.

הסיבוב מתואר על ידי ארבעה פרמטרי אוילר שיצר לאונרד אוילר .

נוסחת הסיבוב של רודריגס (על שם אולינדה רודריגס), היא שיטה לחישוב המיקום של נקודה המסתובבת, השיטה משומשת ביישומי תוכנה מסוימים, כגון סימולטורים של טיסה ומשחקי מחשב .

הַגדָרָה

סיבוב סביב המקור מיוצג על ידי ארבעה מספרים ממשיים, תבנית:Mvar, תבנית:Mvar, תבנית:Mvar, תבנית:Mvar כך ש-

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1.

כאשר הסיבוב מוחל, נקודה במיקום $\vec{x}$ מסתובבת למיקומה החדש,

{\vec{x}}^{'} = (\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} & 2 (b c - a d) & 2 (b d + a c) \\ 2 (b c + a d) & a^{2} + c^{2} - b^{2} - d^{2} & 2 (c d - a b) \\ 2 (b d - a c) & 2 (c d + a b) & a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2} \end{matrix}) \vec{x} .

ניסוח וקטורי

ניתן לקרוא לפרמטר תבנית:Mvar פרמטר סקלרי ול- $\vec{w} = (b, c, d)$ הפרמטר הווקטורי . בסימון הווקטור הסטנדרטי, נוסחת הסיבוב של רודריגס לובשת את הצורה הקומפקטיתתבנית:מקור.

תבנית:Math

סִימֶטרִיָה

הפרמטרים תבנית:נוסחה ו- תבנית:נוסחה מתארים את אותו סיבוב. מלבד סימטריה זו, כל קבוצה שונה של ארבעה פרמטרים מתארת סיבוב ייחודי במרחב התלת־ממדי.

הרכבת סיבובים

ההרכב של שני סיבובים הוא עצמו סיבוב. יהי תבנית:נוסחה ו- תבנית:נוסחה שני סיבובים המורכבים מהפרמטרים של אוילר. הפרמטרים של סיבוב ההרכבה (סיבוב 2 לאחר סיבוב 1) הם כדלקמן:

\begin{matrix} a & = a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} - c_{1} c_{2} - d_{1} d_{2}; \\ b & = a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - c_{1} d_{2} + d_{1} c_{2}; \\ c & = a_{1} c_{2} + c_{1} a_{2} - d_{1} b_{2} + b_{1} d_{2}; \\ d & = a_{1} d_{2} + d_{1} a_{2} - b_{1} c_{2} + c_{1} b_{2} . \end{matrix}

זה פשוט, אם כי מייגע, לבדוק ש- תבנית:נוסחה . (זו בעצם זהות ארבעת הריבועים של אוילר .)

זווית סיבוב וציר הסיבוב

כל סיבוב מרכזי בתלת מימד נקבע באופן ייחודי על ידי ציר הסיבוב שלו (מיוצג על ידי וקטור יחידה $\vec{k} = (k_{x}, k_{y}, k_{z})$ ) וזווית הסיבוב תבנית:נוסחה . הפרמטרים של אוילר עבור סיבוב זה מחושבים באופן הבא:

\begin{matrix} a & = \cos \frac{φ}{2}; \\ b & = k_{x} \sin \frac{φ}{2}; \\ c & = k_{y} \sin \frac{φ}{2}; \\ d & = k_{z} \sin \frac{φ}{2} . \end{matrix}

שימו לב שאם תבנית:נוסחה גדל בסיבוב מלא של 360 מעלות, הטיעונים של סינוס וקוסינוס גדלים רק ב-180 מעלות. הפרמטרים המתקבלים הם הפוכים מהערכים המקוריים, תבנית:נוסחה ; ולכן הם מייצגים את אותו סיבוב.

בפרט, טרנספורמציה של הזהות (סיבוב אפס, תבנית:נוסחה ) תואמת לערכי פרמטר תבנית:נוסחה . סיבובים של 180 מעלות סביב כל ציר מביאים ל- תבנית:נוסחה .

ראו גם

פורמליזם של סיבוב בתלת מימד
קווטרניונים וסיבוב מרחבי
ורסור
ספינורים בתלת מימד
SO(4)
קבוצת סיבוב תלת מימד
דגם Beltrami–Klein (דגם Cayley–Klein)
מדד Cayley–Klein
זהות ארבעת הריבועים של אוילר

לקריאה נוספת

הערות שוליים

תבנית:הערות שוליים תבנית:ערך יתום

נוסחת אוילר-רודריגס

תוכן עניינים

הַגדָרָה

ניסוח וקטורי

סִימֶטרִיָה

הרכבת סיבובים

זווית סיבוב וציר הסיבוב

ראו גם

לקריאה נוספת

הערות שוליים

תפריט ניווט

נוסחת אוילר-רודריגס

הַגדָרָה

ניסוח וקטורי

סִימֶטרִיָה

הרכבת סיבובים

זווית סיבוב וציר הסיבוב

ראו גם

לקריאה נוספת

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש