הצגת המקור של הדף "נוסחת לייבניץ ל-π"

[[קובץ:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg|200px|ממוזער|תמונתו של גוטפריד וילהלם לייבניץ]]
ב[[מתמטיקה]], '''נוסחת לייבניץ ל-π''',ידוע גם כ'''נוסחת לייבניץ גרגורי''' על שם [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] ו[[ג'יימס גרגורי]], היא הנוסחה:
:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}.\!</math>
או ברישום מקוצר:
:<math>\sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1} \;=\; \frac{\pi}{4}.\!</math>
==הוכחה==
ניתן להוכיח טענה זו בקלות על ידי [[טור טיילור]] של [[פונקציות טריגונומטריות הפוכות|פונקציה הופכית של טנגנס]] (נקראת טור גרגורי) שאומרת:
: <math>\int_0^x \, \frac{du}{1+u^2} =  \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots </math>
ולהציב ''x'' = 1 ונקבל בקלות את הנוסחה.
הנה הוכחה נוספת:
:<math>
{\begin{align}
\frac{\pi}{4} & = \arctan(1)\;=\;\int_0^1 \frac 1{1+x^2} \, dx \\[8pt]
& = \int_0^1\left(\sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}\right) \, dx \\[8pt]
& = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}
+(-1)^{n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \, dx.
\end{align}}
</math>
ניתן להבין מהשורה האחרונה כי:
:<math>0 < \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx \;<\; \int_0^1 x^{2n+2}\,dx \;=\; \frac{1}{2n+3} \;\rightarrow\; 0 \text{ as } n \rightarrow \infty.\!</math>
מכאן עבור ''n'' שואף לאינסוף, ניתן לראות כי:
<math>\frac{\pi}4\;=\;\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}.</math>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:פאי]]
[[קטגוריה:הוכחות]]