נוסחת לייבניץ ל-π

תמונתו של גוטפריד וילהלם לייבניץ

במתמטיקה, נוסחת לייבניץ ל-π,ידוע גם כנוסחת לייבניץ גרגורי על שם גוטפריד וילהלם לייבניץ וג'יימס גרגורי, היא הנוסחה:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}.$

או ברישום מקוצר:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}.$

הוכחה

ניתן להוכיח טענה זו בקלות על ידי טור טיילור של פונקציה הופכית של טנגנס (נקראת טור גרגורי) שאומרת:

${\int }_0^x\frac{du}{1+u^2}=\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

ולהציב x = 1 ונקבל בקלות את הנוסחה. הנה הוכחה נוספת:

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}& =\arctan (1)={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\\ & ={\int }_0^1(\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{x}^{2k}+\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{1+x^2})dx\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}+(-1{)}^{n+1}{\int }_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx.\end{array}$

ניתן להבין מהשורה האחרונה כי:

$0<{\int }_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx<{\int }_0^1{x}^{2n+2}dx=\frac{1}{2n+3}\to 0\text{ as }n\to \mathrm{\infty }.$

מכאן עבור n שואף לאינסוף, ניתן לראות כי: $\frac{\pi }{4}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}.$

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld