הצגת המקור של הדף "1089 (מספר)"

{{מספר שלם
|כתיב עשרוני=1089
|במילים=אלף שמונים ותשע
|מספר סודר=האלף שמונים ותשע
|גימטריה=א' פ"ט
|פירוק לגורמים=<math>\ 3^2\cdot11^2</math>
|כתיב רומי=<math>\ MLXXXIX</math>
|כתיב בינארי=10001000001
|כתיב הקסדצימלי=441
}}'''1089''' (נכתב גם '''1,089'''; במילים: '''אלף שמונים ותשע''') הוא [[מספר טבעי]], עוקב ל-1088 וקודם ל-1090.

== תכונות ==
1089 הוא ה[[מספר ריבועי|ריבוע]] של [[33 (מספר)|33]], כלומר <math>33\times33=1089</math>.

הכפלה של המספר 1089 בשני מספרים שלמים חיוביים שסכומם הוא 10 נותן שתי תוצאות שמתקבלות מהיפוך סדר הספרות זו של זו:

: 1 × 1089 = '''1089''' ↔ 9 × 1089 = '''9801'''
: 2 × 1089 = '''2178''' ↔ 8 × 1089 = '''8712'''
: 3 × 1089 = '''3267''' ↔ 7 × 1089 = '''7623'''
: 4 × 1089 = '''4356''' ↔ 6 × 1089 = '''6534'''
: 5 × 1089 = '''5445''' ↔ 5 × 1089 = '''5445'''
למספר 1089 יש תכונה מעניינת נוספת והיא ש[[כפל|הכפלת]] המספר ב[[מספר שלם|מספרים השלמים]] מ-1 ועד ל-9 מייצרת תבנית שבה כל טור ספרות במכפלה עולה או יורד בקפיצות של 1 בין תוצאה לתוצאה. לדוגמה, ספרת המאות של המכפלות לפי הסדר יוצרת את הספרות 0 עד 8.

: <math>1089\times1=1089</math>

: <math>1089\times2=2178</math>

: <math>1089\times3=3267</math>

: <math>1089\times4=4356</math>

: <math>1089\times5=5445</math>

: <math>1089\times6=6534</math>

: <math>1089\times7=7623</math>

: <math>1089\times8=8712</math>

: <math>1089\times9=9801</math>

== האלגוריתם הקבוע ==
למספר 1089 יש תכונה מעניינת - הוא תמיד יתקבל בתור התוצאה של [[אלגוריתם|סדרת הפעולות]] הבאה:
#בחרו מספר תלת-[[ספרה|ספרתי]] כלשהו שספרת ה[[100 (מספר)|מאות]] וספרת האחדות בו שונות.
#הפכו את סדר ספרותיו ו[[חיסור|חסרו]] את המספר הקטן יותר מבין השניים, מהמספר הגדול יותר מביניהם.
#הפכו את סדר ספרותיה של התוצאה ו[[חיבור|חברו]] את המספר המתקבל עם התוצאה עצמה.

לדוגמה, אם ניקח את המספר <math>537</math> ונהפוך את סדר ספרותיו נקבל <math>735</math>. נחסר את המספר הקטן יותר מהגדול יותר: <math>735-537=198</math>. כעת נהפוך את סדר ספרותיה של התוצאה ונקבל <math>891</math>. נחבר את התוצאה עם היפוך הספרות של התוצאה: <math>198+891=1089</math>. התוצאה המתקבלת היא אכן 1089, כפי שציפינו לקבל.{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/S1089.shtml|כותרת=1089 and a Property of 3-digit Numbers|תאריך_וידוא=2019-02-08|אתר=www.cut-the-knot.org}}}}

בחישוב זה מתייחסים גם למספרים דו-ספרתיים או חד-ספרתיים כאל תלת-ספרתיים, על ידי הוספת [[אפס מוביל|אפסים מובילים]] אליהם. כלומר המספר 99 ייחשב 099, ולכן לאחר שהופכים את ספרותיו מקבלים 990.

=== הוכחה ===
אם <math>abc</math> הוא המספר שלנו, כאשר כל אות מייצגת את אחת מספרותיו, אז ערכו הוא <math>100\cdot a+10\cdot b+c</math> וערכו של המספר ה"הפוך" <math>cba</math> הוא <math>100\cdot c+10\cdot b+a</math>. מכאן שאחרי שמחסרים את הקטן מהגדול (נניח כי הגדול הוא <math>abc</math>; אותו טיעון תקף גם במקרה ההפוך) מתקבל <math>\ 99a-99c=99(a-c)</math>. אם המספר המקורי לא היה [[פלינדרום]] הרי ש-<math>\ a\ne c</math>, ולכן תוצאת החיסור היא כפולה של 99.

ניתן לראות (למשל, על ידי בדיקה ישירה) כי כל כפולה של 99 בת 3 ספרות מקיימת את התכונה שהספרה האמצעית שלה היא 9 וסכום שתי הספרות האחרות גם הוא 9 (למשל - 99 כפול 3 הוא 297 המקיים את התכונה; וגם על 99 ניתן לחשוב כעל המספר "התלת ספרתי" 099 המקיים את התכונה. הסיבה לכך היא כי <math>90+9=99</math> ולכן כל כפולה שלו במספר קבוע נותנת <math>90a+9a</math>. על פי החוק שכל מספר חד-ספרתי המוכפל ב9 נותן מספר שסכום ספרותיו הוא 9, נקבל<math>90a+9a=100c+10d+10c+d \left(c+d=9\right)\Rightarrow99a=100c+90+d</math>).

אם כך, תוצאת החיסור היא <math>x9y</math> עם <math>x+y=9</math>. לאחר שמחברים את <math>x9y</math> עם <math>y9x</math> מקבלים <math>101\cdot (x+y)+2\cdot 90=101\cdot 9+180=909+180=1089</math>.

==ראו גם==
* [[1729 (מספר)]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{מספרים}}

[[קטגוריה:מספרים טבעיים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]