פונקציית מדרגה

פונקציית מדרגה. פה הערך ב-0 מוגדר להיות 0.5

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן $[0,\mathrm{\infty })$: $$\theta (x)=H(x)=u(x)=1_{[0,\mathrm{\infty })}(x)=\{\begin{array}{ccc}0& & x<0\\ 1& & x\ge 0\end{array}$$ (הערך ב-$x=0$ מוגדר לעיתים אחרת, למשל $H(0)=\frac{1}{2}$).

תכונות הפונקציה:

• הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-$x=0$.
• הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-$x=0$.
• הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
• באופן לא פורמלי, "פונקציית הנגזרת" של $H$ היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה תבנית:אנג המקבלת בכל נקודה את הערך $0$, פרט לנקודה $x=0$ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש-$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (s)\mathrm{d}s$ פרט אולי ל-$x=0$.
• הפונקציה הקדומה של $H$ היא $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(t)\mathrm{d}t=x\cdot H(x)$, שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.
• התמרת לפלס של פונקציית המדרגה היא $ℒ\{u(t)\}=\frac{1}{s}$.

ראו גם

• פונקציית מדרגות
• פונקציית היחידה

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld