משפט ההישנות של פואנקרה

תבנית:סימון מתמטי משפט ההישנות של פואנקרה הוא משפט מתמטי העוסק במערכות דינמיות, בעל שימושים בסטטיסטיקה ובפרט בתהליכים מקריים, וכן בפיזיקה סטטיסטית. במילים פשוטות המשפט קובע כי בתנאים מסוימים, חלקיק הנע בצורה אקראית בתוך תיבה, יחזור קרוב ככל שנרצה למיקומו המקורי לאחר פרק זמן סופי כלשהו.

למשפט היה תפקיד חשוב בהתפתחות הפיזיקה הסטטיסטית בסופה של המאה ה-19, והוא הביא את הפיזיקאים לנסח מחדש את הנחת הארגודיות.

המשפט קרוי על-שמו של המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה שדן בו בשנת 1890.תבנית:הערה המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתאודורי בשנת 1919, תוך שימוש בכלים מתורת המידה.תבנית:הערה מאז הוכחת הגרסה הבסיסית של המשפט, פותחו גרסאות נוספות והכללות נוספות שלו, בין השאר גם מנקודות מבט טופולוגיות או גאומטריות. למשל גרסאות העוסקות ב"הישנות מְרוּבָּה".תבנית:הערה

נוסח פורמלי

באופן כללי, המשפט עוסק במרחב הסתברות $(X,ℱ,\mathbb{P})$, יחד עם העתקה מדידה $T:X\to X$ שהיא שומרת מידה, כלומר, $\mathbb{P}\left(E\right)=\mathbb{P}\left(T^{-1}E\right)$ לכל מאורע $E\in ℱ$.

גרסה הסתברותיתתבנית:הערה

יהי $E\in ℱ$ מאורע בעל הסתברות חיובית. לכל $x\in E$, נגדיר $n(x)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid T^{n}x\in E\}$. אזי מתקיים כי $n(x)<\mathrm{\infty }$ בהסתברות 1.

דוגמה לכך שהדרישה כי מידת המרחב תהיה סופית, כלומר שהמרחב יהיה מרחב הסתברות, היא הדוגמה של ההעתקה $T:ℝ\to ℝ$ המוגדרת $Tx=x+1$. קל לראות כי זו העתקה מדידה ושומרת מידה, ובכל זאת אף נקודה אינה חוזרת לעצמה.

גרסה מטריתתבנית:הערהתבנית:הערה

נניח עוד כי $(X,d)$ מרחב מטרי קומפקטי, וכי $T$ היא גם פונקציה רציפה שהיא הומאומורפיזם. אזי קיימת נקודה $x\in X$ כך שלכל $ϵ>0$ קיים $n\in \mathbb{N}$ שעבורו $d(x,T^{n}x)<ϵ$.

גרסה טופולוגיתתבנית:הערה

נניח עוד כי $X$ מרחב טופולוגי האוסדורף המקיים את אקסיומת המנייה השנייה. תהי $\mathrm{\Sigma }$ טופולוגיה המכילה את סיגמא-אלגברת בורל, שביחס אליה $T$ היא פונקציה רציפה. אזי בהסתברות 1, עבור $x\in X$, לכל סביבה פתוחה $U\in \mathrm{\Sigma }$ של $x$, קיים $n\in \mathbb{N}$ שעבורו $T^{n}x\in U$.

הוכחה

נוכיח להלן את הגרסה ההסתברותית של המשפט.

לכל $n\in \mathbb{N}$ נגדיר $E_n=\{x\in E\mid n(x)=n\}$. כמו כן נגדיר $E_{\mathrm{\infty }}=\{x\in E\mid T^{n}x\notin E,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}E\}$. ברור כי $E=E_{\mathrm{\infty }}\cup \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n$ וכי הצגה זו היא איחוד זר. כמו כן אלה קבוצות מדידות, שכן מתקיים $E_1=E\cap T^{-1}E$ וכן ניתן להראות באינדוקציה כי $E_n=E\cap T^{-n}E\cap \bigcap _{j=1}^{n-1}{T}^{-j}\left(X\mathrm{\setminus }E\right)$ לכל $n\ge 2$.

נשים לב כי עבור כל $x\in E_{\mathrm{\infty }}$ בהכרח $T^{n}x\notin E_{\mathrm{\infty }}$ לכל $n\in \mathbb{N}$. נובע מכך כי הסדרה ${\left\{T^{-i}{E}_{\mathrm{\infty }}\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ היא סדרה של קבוצות זרות.

מהיות $T$ שומרת מידה נובע כי $\mathbb{P}\left(E_{\mathrm{\infty }}\right)=\mathbb{P}\left(T^{-i}{E}_{\mathrm{\infty }}\right)$ לכל $i\in \mathbb{N}$, ולכן נובע כי, $$1=\mathbb{P}\left(X\right)\ge \mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{T}^{-i}E\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(T^{-i}E\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(E_{\mathrm{\infty }}\right)$$ ומכאן כי בהכרח $\mathbb{P}\left(E_{\mathrm{\infty }}\right)=0$, כפי שנדרש.