פונקציית טריגמא

ייצוג צבע של פונקציית טריגמא, תבנית:נוסחה במישור המרוכב. האיור נוצר בשיטת צביעת התחום .

במתמטיקה, פונקציית הטריגמא, המסומנת תבנית:נוסחה או תבנית:נוסחה, היא השנייה מבין פונקציות הפוליגמא, והיא מוגדרת על ידי

${\psi }_1(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$ .

מהגדרה זו עולה כי

${\psi }_1(z)=\frac{d}{dz}\psi (z)$

כאשר תבנית:נוסחה היא פונקציית הדיגמא. ניתן להגדיר את פונקציית הטריגמא גם כסכום הטור

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2},$

מה שהופך את פונקציית הטריגמא למקרה מיוחד של פונקציית הזטה של הורביץתבנית:אנ

${\psi }_1(z)=\zeta (2,z)$

שתי הנוסחאות האחרונות תקפות רק כאשר תבנית:נוסחה אינו מספר טבעי.

חישוב

כחלופה לייצוג לעיל, ניתן לייצג את פונקציית טריגמא בעזרת אינטגרל כפול

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{z-1}}{y(1-x)}dydx$

האינטגרציה על תבנית:נוסחה נותנת

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx$

על ידי גזירת הפיתוח האסימפטוטי של פונקציית דיגמה ניתן לקבל את טור לורן הבא:

$\begin{array}{cc}{\psi }_1(z)& \sim \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\ln z-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n{z}^n})\\ & =\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{z^{n+1}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{z^{n+1}}\\ & =\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}-\frac{1}{30z^5}+\frac{1}{42z^7}-\frac{1}{30z^9}+\frac{5}{66z^{11}}-\frac{691}{2730z^{13}}+\frac{7}{6z^{15}}\cdots \end{array}$

כאשר תבנית:Mvar הוא מספר ברנולי ה- תבנית:Mvar, ובוחרים $B_1=1/2$.

נוסחאות נסיגה והשתקפות

פונקציית טריגמא מקיימת את נוסחת הנסיגה

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2}$

ונוסחת ההשתקפות

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2\pi z}$

מביטוי זה קל לראות בהצבת $z=1/2$ כי ${\psi }_1(\frac{1}{2})=\frac{{\pi }^2}{2}$ .

ערכים מיוחדים

בערכים חיוביים חצי שלמים מתקבל

${\psi }_1(n+\frac{1}{2})=\frac{{\pi }^2}{2}-4\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1{)}^2}.$

לפונקציית טריגמא הערכים המיוחדים הבאים:

$\begin{array}{cccccc}{\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)& ={\pi }^2+8G& {\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)& =\frac{{\pi }^2}{2}& {\psi }_1(1)& =\frac{{\pi }^2}{6}\\ [6px]{\psi }_1\left(\frac{3}{2}\right)& =\frac{{\pi }^2}{2}-4& {\psi }_1(2)& =\frac{{\pi }^2}{6}-1\\ {\psi }_1(n)& =\frac{{\pi }^2}{6}-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}\end{array}$

כאשר תבנית:Mvar מייצג קבוע קטלן ו- תבנית:Mvar הוא מספר שלם חיובי. אך יש אינסוף זוגות שורשים $z_n,\overline{z_n}$ עם חלק ממשי שלילי ($\mathrm{R}ez<0$). כל זוג שורשים כזה מתקרב במהירות ל $\mathrm{R}e{z}_n=-n+1/2$, והחלק הדמיוני שלהם גדל לוגריתמית כפונקציה של n.

הופעה

פונקציית טריגמא מופיעה בנוסחת הסכום:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2-\frac{1}{2}}{{(n^2+\frac{1}{2})}^2}\left({\psi }_1\right(n-\frac{i}{\sqrt{2}})+{\psi }_1(n+\frac{i}{\sqrt{2}}\left)\right)=-1+\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \coth \frac{\pi }{\sqrt{2}}-\frac{3{\pi }^2}{4{\sinh }^2\frac{\pi }{\sqrt{2}}}+\frac{{\pi }^4}{12{\sinh }^4\frac{\pi }{\sqrt{2}}}(5+\cosh \pi \sqrt{2}).$

ראו גם

• פונקציית גמא
• פונקציית דיגמא
• פונקציית פוליגמא
• קבוע קטלן

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld