פונקציית דיגמא

המחשה של פונקציית דיגמא $\psi (z)$.

גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי

במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:

$.\psi (z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על $(0,\mathrm{\infty })$, והיא שקולה אסימפטוטית ל-

$,\psi (z)\sim \ln z-\frac{1}{2z}$

עבור ($|z|\to \mathrm{\infty }$) בגזרה $|\arg z|<\pi -\epsilon$ לכל $\epsilon >0$.

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ-${\psi }_0(x),{\psi }^{(0)}(x)$ או תבנית:נוסחה.

קשר למספרים ההרמוניים

פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

$.\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$

ניקח לוג של שני האגפים:

$,\ln (\mathrm{\Gamma }(z+1))=\ln (z)+\ln (\mathrm{\Gamma }(z))$

גזירה ביחס ל- $z$:

$\psi (z+1)=\psi (z)+\frac{1}{z}$

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים תבנית:Mvar

$,H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

מתקיים,

$,\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

כאשר $H_0=0$ ו-$\gamma$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

$.\psi (n+\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^n\frac{2}{2k-1}$

ייצוגים אינטגרליים

אם החלק הממשי של $z$ הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:

$.\psi (z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}})dt$

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני $\gamma$ נותן:

$.\psi (z+1)=-\gamma +{\int }_0^1\left(\frac{1-t^z}{1-t}\right)dt$

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר $H_z$, כך שניתן לכתוב:

$.\psi (z+1)=\psi (1)+H_z$

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

$.\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_w-H_z$

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:תבנית:הערה

$.\psi (z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{-t}-\frac{1}{(1+t{)}^z})\frac{dt}{t}$

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של $\psi$.

$.\psi (z)=\log z-\frac{1}{2z}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}+\frac{1}{e^t-1})e^{-tz}dt$

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור $\psi$:

$.\psi (z)=\log z-\frac{1}{2z}-2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{tdt}{(t^2+z^2)(e^{2\pi t}-1)}$

מתוך ההגדרה של $\psi$ והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

$,\psi (z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}\ln (t)e^{-t}dt$

כאשר $\mathrm{\Re }z>0$ .

ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית

הפונקציה $\psi (z)/\mathrm{\Gamma }(z)$ היא פונקציה שלמה, והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

$.\frac{\psi (z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{x_k})e^{\frac{z}{x_k}}$

כאשר $x_k$ הוא האפס ה-$k$ של $\psi$ (ראה להלן) ו- $\gamma$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- $-\frac{d}{dz}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}$ בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: $.\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\psi (z)$

ייצוג כטור

מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+z})=-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{z}{n(n+z)}\right),z\ne -1,-2,-3,\dots$

חישוב סכומים של פונקציות רציונליות

ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

$,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{p(n)}{q(n)}$

כאשר $p(n)$ ו-$q(n)$ הם פולינומים של $n$.

פירוק לשברים חלקיים של $u_n$ בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של $q(n)$ הם שורשים פשוטים,

$.u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k}$

כדי שהטור יתכנס,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{u}_n=0$,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

$,\sum _{k=1}^m{a}_k=0$

ונקבל,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m{a}_k(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1})=\sum _{k=1}^m\left(a_k\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1})\right)$$=-\sum _{k=1}^m{a}_k(\psi (b_k)+\gamma )=-\sum _{k=1}^m{a}_k\psi (b_k)$

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

$,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{(n+b_k{)}^{r_k}}=\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^{r_k}}{(r_k-1)!}{a}_k{\psi }^{(r_k-1)}(b_k)$

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

טור טיילור

לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה $z=1$:

$,\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\zeta (k+1)z^k$

שמתכנס עבור $|z|<1$. כאשר, $\zeta (n)$ היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

טור ניוטון

טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:

$,\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$

כאשר $(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$ הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

$,\psi (s+1)=-\gamma -\frac{1}{m}\sum _{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}-\frac{1}{m}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}\{(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+m}{k+1})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k+1})\},\mathrm{\Re }(s)>-1$

כאשר $m=2,3,4,\mathrm{...}$.

נוסחת השיקוף

פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x$.

ראו גם

• פונקציית פוליגמא
• פיתוחי צ'בישב

קישורים חיצוניים

• תבנית:Cite journal
• תבנית:Cite book
• תבנית:Cite web
• תבנית:MathWorld