אופרטור ליניארי חסום

באנליזה פונקציונלית (ענף במתמטיקה), אופרטור ליניארי חסום הוא אופרטור ליניארי בין מרחבים נורמים X ו-Y, המעביר את כדור היחידה של X לקבוצה חסומה ב-Y. אופרטור ליניארי הוא חסום אם ורק אם הוא רציף.

אופרטור חסום מעביר כל קבוצה חסומה לקבוצה חסומה.

אופרטור $T:X\to Y$ הוא חסום אם קיים M כך ש- $\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert$ לכל $x\in X$. תנאי זה מאפשר להגדיר את הנורמה של אופרטור לפי חסום $\Vert T\Vert =\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }$, ואז $\Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \cdot \Vert x\Vert$. הגדרה שקולה לנורמה של אופרטור היא הסופרמום של נורמת האופרטור על כדור היחידה של X, כלומר $\Vert T\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{sup}\Vert Tx\Vert$.

האוסף $B(H)$ של אופרטורים חסומים על מרחב הילברט H הוא אלגברת פון נוימן (שאינה בהכרח רגולרית). הנורמה של אופרטורים שהוגדרה לעיל הופכת את $B(H)$ לאלגברת בנך.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld