אינדוקציה נתרית

תבנית:סימון מתמטי באלגברה קומוטטיבית, אינדוקציה נתרית (Noetherian induction) היא שיטת הוכחת טענות על אלגברות נתריות, שדומה במובן מסוים לאינדוקציה הרגילה.

הגדרה והסבר

תהי $R$ אלגברה נתרית. כדי להוכיח עליה טענה מסוימת, ניתן להיעזר באינדוקציה נתרית - ניתן להניח שהטענה לא נכונה עבור אלגברה כלשהי, אבל נכונה לכל אלגברת מנה $R/A$ עבור כל אידיאל $0\ne A◃R$, ואז להמשיך באינדוקציה.

הסבר - יהי $L$ אוסף כל האידיאלים $A$ של $R$ כך ש-$R/A$ דוגמה נגדית לטענה. האוסף אינו ריק, משום שאידיאל האפס שם. $R$ נתרי, ולכן ל-$L$ יש מקסימום, נאמר $I_1$. בכך למעשה הוכחה הטענה, משום שמתקבלת אלגברה $R/I$ שאינה מקיימת את הטענה, ולכל אידיאל אמיתי שלה $0\ne I_2/I_1◃R/I_1$ המנה מקיימת את הטענה, משום ש-$(R/I_1)/(I_2/I_1)\cong R/I_2$, ו-$I_1⊊I_2$.

דוגמה

טענה: אם $R$ נתרי, קיימים אידיאלים ראשוניים $P_1,...,P_t\in spec(R)$ כך ש-$P_1\cdot ...P_t=0$.

הוכחה: באינדוקציה נתרית, נניח כי $R$ דוגמה נגדית, אבל $R/I$ איננו דוגמה נגדית לכל $0\ne I◃R$. כעת, $R$ דוגמה נגדית, ולכן איננו תחום שלמות (אחרת ניקח $P_1=0$). לכן, יש אידיאלים $A,B\ne 0$ עבורם $AB=0$. לפי ההנחה, $R/A,R/B$ מקיימות את הטענה, ולכן קיימים $\overline{P_1},...,\overline{P_u}\in spec(R/A),\overline{P_{u+1}},...,\overline{P_n}\in spec(R/B)$ כך ש-$\overline{P_1}\cdot ...\cdot \overline{P_u}=\overline{P_{u+1}}\cdot ...\cdot \overline{P_n}=0$. נקבל $P_1\cdot ...\cdot P_u\subseteq A,P_{u+1}\cdot ...\cdot P_n\subseteq B$, ולכן $P_1\cdot ...\cdot P_n\subseteq AB=0$ כלומר $P_1\cdot ...\cdot P_n=0$, וסיימנו באינדוקציה נתרית.

יחס בנוי-היטב

כהכללה למושג לעיל, נציג בנייה כללית יותר מ אומרים על יחס $R$ על קבוצה $X$ שהוא בנוי-היטב (Well-founded relation) אם לכל תת-קבוצה לא ריקה $S$ קיים $a\in S$ כך שלכל $x\in S$ מתקיים $\mathrm{\neg }xℛy$. היחס נקרא בנוי היטב הפוך אם $R^{-1}$ (היחס ההופכי) בנוי-היטב.

בהקשר של יחסים בנויים-היטב, ניתן לדבר על סוג נוסף של אינדוקציה, המהווה מעין גרסה של אינדוקציה טרנספיניטית:

אם $(X,R)$ יחס בנוי-היטב, אז כדי להוכיח טענה על כל איבר $x\in X$ מספיק להוכיח אותה על כל $yRx$.

אלגברה היא נתרית אם יחס ההכלה על אידיאלים הוא בנוי-היטב הפוך (והיא ארטינית אם היחס הוא בנוי-היטב רגיל).

ראו גם

• תנאי שרשרת (מתמטיקה)