גאומטריה ספירית

משולש בגאומטריה ספירית

גאומטריה ספֵירִית היא סוג של גאומטריה לא אוקלידית, העוסקת בתכונות של ישרים על ספירה, דהיינו מעטפת של כדור. כאשר רדיוס הכדור שואף לאינסוף מתקבלת הגאומטריה המישורית, האוקלידית.

בגאומטריה הספירית הקווים הישרים הם "מעגלים גדולים" - כאלה שרדיוסם שווה לרדיוס הכדור (אלו הם הקווים הגאודזיים במטריקה הסטנדרטית של הספירה). משום כך, כל שני ישרים נחתכים, והגאומטריה אינה אוקלידית. היחס "בין", המשחק תפקיד מרכזי באקסיומטיקה של הילברט לגאומטריה האוקלידית, אינו קיים בגאומטריה הספירית.

השוואה לגאומטריה האוקלידית

על גבי מעטפת כדורית, סכום הזויות של המשולש יהיה גדול מ 180°. מעטפת הכדור איננה משטח אוקלידי, אף על פי כן ניתן להשתמש בחוקי הגאומטריה האוקלידית לקבלת הערכה. במשולש קטן אשר ממוקם על פני כדור הארץ, סכום הזויות קרוב מאוד ל-180°. את מעטפת הכדור ניתן להציג על ידי אוסף של מפות דו-ממדיות.

גאומטריה אוקלידית	גאומטריה ספירית
אקסיומת המקבילים: דרך כל נקודה עובר ישר אחד ויחיד המקביל לישר נתון.	כל שני ישרים נחתכים.
סכום הזוויות במשולש שווה ל 1800	סכום הזוויות במשולש גדול מ 1800
קיימים מלבנים.	לא קיימים מלבנים.
קיימים משולשים דומים שאינם חופפים	שני משולשים השווים בשלוש זוויותיהם הם חופפים.
לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.	היחס "בין" לא קיים.

שטח מצולע

כאמור, במשולש ספירי מתקיים: $\alpha +\beta +\gamma >180^{\circ }$ וברדיאנים: $\alpha +\beta +\gamma >\pi$. ההפרש $E=\alpha +\beta +\gamma -\pi$ נקרא מגרעת המשולש. שטח המשולש נתון על ידי הנוסחה: $E\cdot R^2$.

באופן כללי, אם נסמן את המגרעת של מצולע בעל n צלעות: $E={\alpha }_1+...+{\alpha }_n-(n-2)\pi$ כאשר ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ הן זוויות המצולע, אזי שטח המצולע שווה ל $E\cdot R^2$.

טריגונומטריה ספירית

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה זו:

• משפט פיתגורס - $\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right)$.
• משפט הקוסינוסים - $\cos \frac{c}{R}=\cos \frac{a}{R}\cdot \cos \frac{b}{R}+\sin \frac{a}{R}\cdot \sin \frac{b}{R}\cdot \cos \gamma$.
• משפט הסינוסים - $\frac{\sin \frac{a}{R}}{\sin \alpha }=\frac{\sin \frac{b}{R}}{\sin \beta }=\frac{\sin \frac{c}{R}}{\sin \gamma }$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• The Geometry of the Sphere
• Spherical Geometry