גרף של פונקציה

תבנית:סימון מתמטי גרף של פונקציה הוא אוסף כל הזוגות הסדורים של משתנה מסוים עם ערך הפונקציה המתאים לו, כלומר גרף הפונקציה אמור להתבסס על פי שתי אותיות [X+Y] המסמנות את הגרף עצמו. בתרגיל מסוים של משוואות ה-x תקדים את ה-y עבור פונקציה מסוימת. לרוב הכוונה היא לציור של אוסף זה בתור נקודות במישור לפי מערכת צירים קרטזית, אולם צורת הצגה זו אפשרית רק עבור פונקציות ממשיות במשתנה יחיד; עם זאת, מושג הגרף קיים גם עבור פונקציות במספר משתנים.

במערכת צירים דו־ממדית את ציר איברי תחום הפונקציה לרוב נהוג לסמן כ-$X$ ואת ציר איברי הטווח נהוג לסמן כ-$Y$. בנקודה (זוג סדור) בגרף במערכת צירים דו־ממדית, האיבר הראשון (שיעור X של הנקודה) בזוג נקרא גם אבסציסה (Abscissa) והשני (שיעור Y) נקרא גם אורדינטה (Ordinate).

הגדרה פורמלית

בהינתן פונקציה $f$ שתחומה $D$, גרף הפונקציה היא הקבוצה של הזוגות הסדורים $\{(x,f(x))|x\in D\}$.

נשים לב כי עבור פונקציה ממשית ב-$n$ משתנים, גרף הפונקציה הוא תת-קבוצה של המרחב האוקלידי ${ℝ}^{n+1}$. המקרה הפרטי המוכר הוא זה של פונקציה במשתנה יחיד, אז הגרף הוא תת-קבוצה של המישור – ${ℝ}^2$.

דוגמאות

דוגמה לתרשים גרף של פונקציה $f(x)=x^3-9x$

• ישר – גרף שמייצג פולינום ממעלה ראשונה ($y=mx+n$) שיפועו, כלומר טנגנס הזווית שלו עם ציר ה-$X$, הוא $m$ והוא חותך את ציר ה-$Y$ בנקודה $n$.
• פרבולה – מייצגת פולינום ממעלה שנייה. נראית כמעין קשת מתרחבת ($y=a{x}^2+bx+c$ כאשר a אינו אפס) אם $a$ חיובי הפרבולה פתוחה כלפי מעלה (כלומר קמורה) ואם הוא שלילי, אז היא פתוחה כלפי מטה (קעורה).
• היפרבולה – מייצגת פונקציה מהסוג $f(x)=a/x+b$

נקודות מיוחדות על גרפים של פונקציות ממשיות:

• מינימום ומקסימום – הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר בסביבה כלשהי של הנקודה, כלומר ערכי ה-$y$ הגדולים והקטנים ביותר יחסית לסביבתם בהתאמה. אם הפונקציה גזירה בנקודות אלו – הנגזרת תתאפס.
• נקודת פיתול – נקודת מעבר מקמירות לקעירות.
• נקודות אפס:

1. כאשר הגרף חותך את ציר ה-X. כדי למצוא אותו משווים את הפונקציה ל-0.
2. כאשר הגרף חותך את ציר ה-Y. כדי למצוא אותו מציבים בפונקציה X=0.

• נקודת שאיפה – נקודה ב-X שלא מוגדר לה Y ולכן הפונקציה שואפת אליה משני צדדיה (כגון אסימפטוטות בהיפרבולה), או נקודה ב-Y שהפונקציה לא תגיע אליה מעולם אבל שואפת אליה. רלוונטי לדוגמה בפונקציות בהן X נמצא במכנה- נקודת השאיפה היא הנקודה בה תוצאת המכנה שווה ל-0.

קישורים חיצוניים

• יישום ג'אווה שמאפשר לשרטט גרפים של פונקציות
• מציאת נקודות על גרפים, באתר לרגו (LerGO)
• תבנית:MathWorld