החבורה הדיהדרלית האינסופית

בתורת החבורות, החבורה הדיהדרלית האינסופית הנה חבורה אינסופית, המכלילה את החבורה הדיהדרלית.

מבוא והגדרה

חבורה דיהדרלית סופית $D_n$ נוצרת על ידי סיבוב $r$ של $\frac{360^{\circ }}{n}$ ושיקוף $s$; כאשר סדר החבורה סופי, הסיבוב גם הוא בעל סדר סופי: $r^n=1$. בנוסף, בין השיקוף לסיבוב מתקיים היחס $srs=r^{-1}$.

בניגוד לכך, בחבורה הדיהדרלית האינסופית, הסדר של הסיבוב איננו סופי: זוהי החבורה הנוצרת על ידי שני איברים $r,s$, המקיימים $s^2=1$ ו-$srs=r^{-1}$. זוהי חבורה אינסופית, המסומנת ${\mathrm{D}}_{\mathrm{\infty }}$ או ${\mathrm{Dih}}_{\mathrm{\infty }}$.

תכונות

• כל חבורה דיהדרלית סופית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של חבורה ציקלית סופית ו-${\mathbb{Z}}_2$; תכונה זו מוכללת לחבורה הדיהדרלית האינסופית: ${\mathrm{D}}_{\mathrm{\infty }}\cong \mathbb{Z}⋊{\mathbb{Z}}_2$
• על ידי החלפת המשתנים $r$ ב-$sr$, ניתן לקבל ייצוג נוסף של החבורה: $⟨x,y\mid x^2=y^2=1⟩$ - מכפלה חופשית של שתי חבורות מסדר 2: ${\mathbb{Z}}_2*{\mathbb{Z}}_2$.
• חבורת האיזומטריות של $\mathbb{Z}$ איזומורפית לחבורה הדיהדרלית האינסופית.

ראו גם

• החבורה האורתוגונלית (O(2