הלמה של אוסגוד

הלמה של אוסגוד, שהוצגה על ידי תבנית:קישור שפה ב-1899 היא למה באנליזה מרוכבת. על פי הלמה, פונקציה רציפה של מספר משתנים מרוכבים שהיא הולומורפית בכל משתנה בנפרד, היא הולומורפית. ניתן להשמיט את ההנחה שהפונקציה רציפה, אבל את הצורה הזו של הלמה קשה הרבה יותר להוכיח והיא ידועה כמשפט הרטוגס.

לתוצאה זו אין אנלוגיה במשתנים ממשיים. אם נניח שהפונקציה $f:{ℝ}^n\to ℝ$ היא רציפה וגזירה בכל נקודה בכל משתנה (כלומר, כל הנגזרות החלקיות קיימות בכל מקום),$f$ אז היא לא בהכרח גזירה. למשל, דוגמה נגדית בשני ממדים ניתנת על ידי:

$f(x,y)=\frac{2x^{2}y+y^3}{x^2+y^2}.$

הפונקציה הזו רציפה, והגבול שלה בנקודה $(0,0)$ הוא $0$. אם נגדיר את הפונקציה בראשית הצירים $f(0,0)=0$, נקבל פונקציה רציפה בכל מקום ובעלת נגזרות חלקיות מוגדרות היטב ב $x$ ו $y$ בכל נקודה, כולל בראשית הצירים, אבל אינה גזירה בראשית הצירים.