הלמה של לינדלף

תבנית:מקורות בטופולוגיה, הלמה של לינדלף היא למה הקובעת שמרחב מנייה שנייה הוא מרחב לינדלף.

הלמה היא ניסוח כללי יותר של העיקרון לפיו כל קבוצה פתוחה בישר הממשי היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים.

הוכחת הלמה

יהי $X$ מרחב מנייה שנייה, ויהי $𝒰$ כיסוי פתוח של $X$. נראה שקיים לו תת-כיסוי בן מנייה. מהנתון, קיים ל-$X$ בסיס בן מנייה $ℬ=\{B_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. לכל $n\in \mathbb{N}$ נבחר איזושהי קבוצה בכיסוי $𝒰$ המכילה את $B_n$, אם ישנה. נסמן את אוסף הקבוצות שהתקבל ב-${𝒰}^{\prime }$. הוא בן מנייה מעצם בנייתו, ונראה כעת שהוא כיסוי של $X$. אכן, תהי $x\in X$. מהגדרת הכיסוי, קיימת איזושהי $U\in 𝒰$ כך ש-$x\in U$. זהו כיסוי פתוח, ולכן מהגדרת בסיס קיים $n$ עבורו $x\in B_n\subseteq U$. אבל, מבניית ${𝒰}^{\prime }$ יש איזושהי קבוצה בו המכילה את $B_n$ (ייתכן שזו $U$, אמנם זה לא משנה) ולכן היא מכילה גם את $x$. מכך נקבל ש-${𝒰}^{\prime }$ תת-כיסוי בן מנייה כנדרש. $◼$

קבוצות פתוחות בישר הממשי

הלמה של לינדלף בגרסתה הממשית, קובעת כי כל קבוצה פתוחה $U\subset ℝ$ היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים, שכן כל $x\in U$ מוכל באיזה קטע ממשי $x\in I_x\subset U$ בעל קצוות רציונליים. היות שיש מספר בן-מניה של קטעים ממשיים בעלי קצוות רציונליים, ניתן לבחור ל-$U$ כיסוי בן-מניה של קטעים פתוחים.