התפלגות בוז-איינשטיין

התפלגות בוז-איינשטיין (או סטטיסטיקת בוז-איינשטיין) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית שבעזרתה ניתן לתאר תכונות של בוזונים (חלקיקים בעלי ספין שלם) זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאי ההודי סאטינדרה נאת בוז, שפיתח אותה ב-1920 עבור פוטונים, ועל שם אלברט איינשטיין, שהכליל אותה עבור אטומים ב-1924.

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של בוזונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי הוא

$n_{i} = \frac{g_{i}}{e^{(ϵ_{i} - μ) / k_{B} T} - 1}$ .

כאן

$n_{i}$ הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב ה- $i$ .
$g_{i}$ היא דרגת הניוון של המצב ה- $i$ .
$ϵ_{i}$ היא האנרגיה של המצב ה- $i$ .
$μ$ הוא הפוטנציאל הכימי.
$T$ היא הטמפרטורה.
$k_{B}$ הוא קבוע בולצמן.

הבוזונים הם חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית. בניגוד לפרמיונים, המצייתים לעקרון פאולי ולהתפלגות פרמי-דיראק, הבוזונים יכולים להמצא באותו מקום ובאותו מצב שבו נמצאים חלקיקים זהים נוספים.

בשימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין, ותוך ידיעת צפיפות המצבים $g (ϵ)$ , ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

$U = \int ϵ g (ϵ) n_{B E} (ϵ) d ϵ$

פיתוח

את התפלגות בוז-איינשטיין ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם $N_{i}$ חלקיקים ואנרגיה כוללת $E_{i}$ נתונה על ידי $P_{i} = \frac{1}{𝒵} e^{- \frac{(E_{i} - μ N_{i})}{k_{B} T}}$ , כאשר $𝒵 = \sum_{i} e^{- \frac{(E_{i} - μ N_{i})}{k_{B} T}}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת $ϵ$ . אם אין אינטראקציה בין החלקיקים $E_{i} = n ϵ$ כאשר $n = N_{i}$ הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. כאשר מדובר בבוזונים אין הגבלה על ערכי n כלומר $n = 0, 1, \dots$ . פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה $𝒵 = \sum_{n} e^{- β (ϵ - μ) n} = \frac{1}{1 - e^{- β (ϵ - μ)}}$ . מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב- $⟨ n ⟩ = - \frac{\partial Ω}{\partial μ}$ כאשר $Ω = - k_{B} T \ln 𝒵$ .