התפלגות לוגריתמית

תבנית:נתוני התפלגותבהסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הלוגריתמית היא התפלגות הסתברות בדידה הנגזרת מפיתוח טור מקלורין

$-\ln (1-p)=p+\frac{p^2}{2}+\frac{p^3}{3}+\cdots .$

מכאן מתקבלת הזהות

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}=1$

שמובילה ישירות לפונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג Log(p):

$f(k)=\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$

עבור $k\ge 1$ ו $0<p<1$. בגלל הזהות לעיל, ההתפלגות מנורמלת כראוי.

פונקציית ההתפלגות המצטברת היא

$F(k)=1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$

כאשר B היא פונקציית הבטא הלא שלמה.

אם N הוא משתנה אקראי המתפלג פואסון ו $X_i,i=1,2,3\dots$ הוא רצף אינסופי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות שכל אחד מהם מתפלג Log(p), אז הסכום

$\sum _{i=1}^N{X}_i$

מתפלג התפלגות בינומית שלילית.

הביולוג רונלד פישר תיאר את ההתפלגות הלוגריתמית במאמר מ-1943 כמודל של התפלגות מינים בטבעתבנית:אנ.

ראו גם

• התפלגות פואסון

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld