התפלגות ריילי

תבנית:נתוני התפלגות בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר $\sigma$, המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור.

פונקציית הצפיפות היא $f(x|\sigma )=\frac{x\exp \left(\frac{-x^2}{2{\sigma }^2}\right)}{{\sigma }^2}$.

המומנטים נתונים על ידי ${\mu }_k={\sigma }^k{2}^{k/2}\mathrm{\Gamma }(1+k/2)$,

כאשר $\mathrm{\Gamma }$ מסמנת את פונקציית גמא.

בפרט, מתקבלים:

התוחלת $\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}$,

השונות $\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2$,

הצידוד $\frac{2\sqrt{\pi }(\pi -3)}{(4-\pi {)}^{3/2}}$

והגבנוניות $-\frac{6{\pi }^2-24\pi +16}{(4-\pi {)}^2}$.

אמידת פרמטרים

בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר $\sigma$ (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה $\hat{\sigma }=\sqrt{\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N{x}_i^2}.$

דגימה מהתפלגות ריילי

בהינתן שיש בידינו משתנה מקרי u מהתפלגות אחידה רציפה סטנדרטית (בין 0 ל-1), אז למשתנה X המוגדר על ידי:

$X=\sigma \sqrt{-2\ln (u)}$

יש התפלגות ריילי עם פרמטר $\sigma$. תוצאה זו מושגת על ידי שימוש בשיטת דגימת ההעתקה ההופכית (ITS).

התפלגויות קשורות

• אם $X,Y\sim N(0,{\sigma }^2)$ משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז $R=\sqrt{X^2+Y^2}\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$ מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא).
• אם $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$, אז $R^2$ מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש.
• אם $X$ מתפלג התפלגות אקספוננציאלית, $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(x|\lambda )$, אז

$Y=\sqrt{2X{\sigma }^2\lambda }\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(y|\sigma )$.

• אם $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$ אז לסכום הריבועים $\sum _{i=1}^N{R}_i^2$ יש התפלגות גמא עם הפרמטרים N ו- $2{\sigma }^2$:

$[Y=\sum _{i=1}^N{R}_i^2]\sim \mathrm{\Gamma }(N,2{\sigma }^2)$.

התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וייבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי.

התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא ליניארית, וערכה הוא $h(x)=\frac{x}{{\sigma }^2}$.

ראו גם

• התפלגות נורמלית
• התפלגות רייס

לקריאה נוספת

• Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld