התפלגות תת-גאוסית

בתורת ההסתברות, התפלגות תת-גאוסית היא כל התפלגות שדועכת מהר לפחות כמו התפלגות גאוס. פורמלית, $X$ הוא משתנה מקרי שמתפלג תת-גאוסית אם קיימים קבועים $C$ ו- $v$ כך ש:

P (| X | > t) \leq C e^{- v t^{2}} .

תכונות שקולות

התכונות הבאות שקולות:

משתנה X מתפלג תת-גאוסית
תנאי- $ψ_{2}$ : תבנית:כ $\exists a > 0 : E [e^{a X^{2}}] < + \infty$
תנאי התמרת לפלס: $\exists B, b > 0, \forall λ \in ℝ : E [e^{λ (X - E [X])}] \leq B e^{λ^{2} b} .$
תנאי מומנט: $\exists K > 0 : \forall p \geq 1 {(E | X |^{p})}^{1 / p} \leq K \sqrt{p} .$
תנאי union bound (חסם על התפלגות מקסימום ההפרש ממשתנה זהה): $\exists c > 0, \forall n \geq c : E [\max {| X_{1} - E [X] |, \dots, | X_{n} - E [X] |}] \leq c \sqrt{\log n}$ כאשר $X_{1}, \dots, X_{n}$ הם משתנים בעלי התפלגות זהה ל-X.

עבור משתנה מקרי תת-גאוסי $X$ מגדירים נורמה תת-גאוסית $‖ X ‖_{ψ_{2}} = \inf {c > 0 : E [\exp (\frac{X^{2}}{c^{2}})] \leq 2} .$