זהות ארבעת הריבועים של אוילר

במתמטיקה, זהות ארבעת הריבועים של אוילר קובעת שמכפלה של שני מספרים, שכל אחד מהם הוא סכום של ארבעה ריבועים, היא סכום של ארבעה ריבועים.

זהות אלגברית

עבור כל זוג של מספרים המקיימים את התנאי עם פעולה קומוטטיבית, מתקיים:

$\begin{matrix} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) \\ = {(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4})}^{2} + {(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3})}^{2} \\ + {(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2})}^{2} + {(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1})}^{2} . \end{matrix}$

לאונרד אוילר כתב זהות זו במכתב מ-4 במאי 1748 לכריסטיאן גולדבך (אמנם הוא השתמש בדרך אחרת להציג את הזהות).תבנית:הערה ניתן לאמת זאת באמצעות אלגברה בסיסית.

הזהות שימשה את ז'וזף-לואי לגראנז' כדי להוכיח את משפט ארבעת הריבועים שלו. ליתר דיוק, מהזהות נוובע שדי להוכיח את המשפט עבור מספרים ראשוניים.

משפט הורוויץ קובע זהות מהצורה,

$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) = c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} + \dots + c_{n}^{2}$

כאשר ה- $c_{i}$ הם פונקציות ביליניאריות של $a_{i}$ ו- $b_{i}$ , והזהות אפשרית רק עבור 8,n = 1, 2, 4 .

קשר לחוג הקווטרניונים

תבנית:ערך מורחב תבנית:להשלים

זהות פייסטר

פייסטר מצא זהות ריבועית אחרתː

אם $c_{i}$ הן פונקציות רציונליות של קבוצה אחת עם משתנים כלשהם, כך שלכל $c_{i}$ יש מכנה כלשהו, אזי הזהות אפשרית לכל מספר המקיים $n = 2^{m}$ (ורק למספרים אלו).תבנית:הערה

כלומר, זהות נוספת של ארבעת הריבועים היא כדלקמן: $\begin{matrix} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) \\ = {(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} + a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1})}^{2} + {(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} - a_{4} b_{2})}^{2} \\ + {(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + \frac{a_{3} u_{1}}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}} - \frac{a_{4} u_{2}}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}})}^{2} + {(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - \frac{a_{4} u_{1}}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}} - \frac{a_{3} u_{2}}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}})}^{2} \end{matrix}$

כאשר $u_{1}$ ו- $u_{2}$ ניתנים על ידי $\begin{matrix} u_{1} & = b_{1}^{2} b_{4} - 2 b_{1} b_{2} b_{3} - b_{2}^{2} b_{4} \\ u_{2} & = b_{1}^{2} b_{3} + 2 b_{1} b_{2} b_{4} - b_{2}^{2} b_{3} \end{matrix}$

בנוסף, מתקיים:

$u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = {(b_{1}^{2} + b_{2}^{2})}^{2} (b_{3}^{2} + b_{4}^{2})$

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תבנית:הערות שוליים

זהות ארבעת הריבועים של אוילר

תוכן עניינים

זהות אלגברית

קשר לחוג הקווטרניונים

זהות פייסטר

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

זהות ארבעת הריבועים של אוילר

זהות אלגברית

קשר לחוג הקווטרניונים

זהות פייסטר

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש