זווית הקבלה

אם הזווית B ישרה והקווים Aa ו-Bb הם מקבילים גבוליים (limiting parallels), אז הזווית בין Aa ל-AB היא זווית ההקבלה.

בגאומטריה היפרבולית, זווית ההקבלה (באנגלית: Angle of parallelism), שסימונה המקובל הוא $\mathrm{\Pi }(a)$, היא הזווית בקודקוד אחד של משולש היפרבולי ישר-זווית ששתיים מצלעותיו הן מקבילים אסימפטוטיים. זווית זו תלויה באורך המקטע a שמחבר את הקודקוד של הזווית הישרה עם הקודקוד של זווית ההקבלה.

בהינתן נקודה מחוץ לישר, אם מורידים אנך לישר מהנקודה, אז a הוא המרחק לאורך המקטע האנכי הזה, ו-φ או $\mathrm{\Pi }(a)$ היא הזווית הקטנה ביותר בה הקו המשורטט מהקודקוד בזווית הזו אינו חותך את הישר הנתון. מכיוון ששתיים מצלעות המשולש הן מקבילים אסימפטוטיים, מתקיים:

$\underset{a\to 0}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\pi \text{ and }\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=0.$

ישנם חמישה ביטויים מתמטיים שקולים שקושרים את $\mathrm{\Pi }(a)$ עם a:

$\sin \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{sech}a=\frac{1}{\cosh a}=\frac{2}{e^a+e^{-a}},$

$\cos \mathrm{\Pi }(a)=\tanh a=\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}},$

$\tan \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{csch}a=\frac{1}{\sinh a}=\frac{2}{e^a-e^{-a}},$

$\tan (\frac{1}{2}\mathrm{\Pi }(a))=e^{-a},$

$\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\pi -\mathrm{gd}(a),$

כאשר sinh, cosh, tanh, ו-sech הן פונקציות היפרבוליות ו-gd היא פונקציית גודרמניאן.

היסטוריה

המונח זווית ההקבלה והנוסחאות המקושרות אליו הוצג ופותח בהרחבה ב-1840 בחיבור "חקירות גאומטריות על התאוריה של קווים מקבילים"תבנית:הערה של המתמטיקאי ניקולאי לובצ'בסקי, ממגלי הגאומטריה הלא-אוקלידית. יאנוש בולאי גילה בנייה גאומטרית אלגנטית ממנה ניתן לגזור את הנוסחה לזווית ההקבלה.

קרל פרידריך גאוס הציג בכתב לא מפורסם קצר "התאוריה של קווים מקבילים" הגדרה זהה; הוא הגדיר ישר מקביל גבולי דרך נקודה מחוץ לישר נתון כחתךתבנית:הערה בין הישרים שפוגשים את הישר הנתון לישרים שלא פוגשים אותו. באותו חיבור הוא הוכיח גםתבנית:הערה כי יחס ההקבלה הוא יחס שקילות מעל אוסף הישרים ההיפרבוליים - הווה אומר שהוא חילופי (סימטרית) וטרנזיטיבי. עובדות אלו הן טריוויאליות בגאומטריה אוקלידית, אולם מצריכות הוכחה דקדקנית בגאומטריה אחרת; פרטי ההוכחה טריקיים מאוד, ועשו שימוש ברעיונות המאוחרים יותר של מוריץ פש (Pasch).

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld