חבורת הקווטרניונים

גרף קיילי של חבורת הקווטרניונים. חיצים אדומים מייצגים כפל מימין ב-i וחיצים ירוקים מייצגים כפל מימין ב-j.

חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q₈ או פשוט Q.

ניתן להציג את החבורה כך: $Q=⟨-1,i,j,k\mid (-1{)}^2=1,i^2=j^2=k^2=ijk=-1⟩$. זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-$⟨x,y\mid x^2=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩$. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. את לוח הכפל של החבורה אפשר לקרוא מן הטבלה הבאה (כאשר שינוי הסימן של אחד הגורמים משנה גם את הסימן של המכפלה):

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

חבורת הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון $ℍ$. האחרונה היא אוסף הצירופים הליניאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: $ℍ=\{a+ib+jc+kd\mid a,b,c,d\in ℝ\}$.

הצגה ליניארית

חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה ליניארית כתת חבורה של ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(𝐂)$, החבורה הליניארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הליניארית הכללית ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(𝐂)$ שהדטרמיננטה שלהם היא 1:

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),i\mapsto \left(\begin{array}{cc}\sqrt{-1}& 0\\ 0& -\sqrt{-1}\end{array}\right),j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{-1}\\ \sqrt{-1}& 0\end{array}\right)$

הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,3)$, חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם $-1,0,1$):

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),i\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),j\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,3)$ (שהסדר שלה הוא 24).

תכונות

המרכז של החבורה הוא תבנית:משמאל לימין. חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S₄ וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S₃.

חבורה המילטונית היא חבורה לא אבלית, שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית היא מכפלה של חבורת הקווטרניונים בחבורה אבלית שהיא מכפלת חבורת-2 אלמנטרית בחבורה מפותלת שכל אבריה מסדר אי-זוגי. (חבורה שהיא או אבלית או המילטונית נקראת לפעמים "חבורת דדקינד").

ראו גם

• חבורת קווטרניונים מוכללת

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld