חזקה של נקודה

בגאומטריה, חזקה של נקודה (או דרגה של נקודה) ביחס למעגל נתון בעל רדיוס r היא הגודל $h=s^2-r^2$, כאשר s הוא מרחק הנקודה ממרכז המעגל. החזקה מוגדרת כאשר הנקודה נמצאת במישור של המעגל. החזקה של נקודות הנמצאות מחוץ למעגל היא מספר חיובי, בתוכו שלילי, ועל המעגל - 0.

החזקה שווה למכפלת אורכי הקטעים המתקבלים מחיתוך ישר דרך הנקודה עם המעגל, כאשר מכוונים את הקטעים כראוי, ואינה תלויה בבחירת הישר. בשרטוט, החזקה היא המכפלה $h=|PM|\cdot |PN|=|PA|\cdot |PB|$. המושג נטבע ונחקר על ידי יאקוב שטיינר.

הגדרות נוספות

אם הנקודה מחוץ למעגל, החזקה שלה שווה לריבוע אורך המשיק למעגל היוצא ממנה. עובדה זו נובעת ממשפט פיתגורס: המשולש PTO ישר-זווית, ולכן $|PT{|}^2+|TO{|}^2=|PO{|}^2$. תבנית:-

המקום הגאומטרי של כל הנקודות בעלות אותה חזקה במרחב: פרבולואיד

אם נסתכל על המעגל במערכת צירים קרטזית כמעגל קנוני שרדיוסו r, נקבל שהחזקה של נקודה $(x,y)$ היא: $(\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}{)}^2-r^2=x^2+y^2-r^2$. מכך ניתן לראות שאם נשרטט במרחב את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שחזקתן שווה, נקבל פרבולואיד.

שימושים

תבנית:להשלים ניתן להשתמש בחזקה כדי להגדיר מקומות גאומטריים הקשורים למעגל. לדוגמה, ציר רדיקלי הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שחזקתן ביחס לשני מעגלים נתונים היא שווה.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• יאקוב שטיינר וחזקה של נקודה תבנית:אנגלית
• חזקת נקודה באתר נבחרת ישראל במתמטיקה