טיוטה:משפט לה קם

בתורת ההסתברות, משפט לה קם (Le Cam's theorem) קובע את הטענה שתחת תנאים מסויימים, סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות ברנולי, הוא בקירוב משתנה מקרי מפולג פואסון. למעשה, משפט לה קם חוסם את מרחק השונות הכוללת בין ההתפלגות של סכום משתנים מקריים ברנוליים בלתי תלויים לבין התפלגות פואסון עם אותה תוחלת, ומראה כי מרחק זה שואף לאפס כאשר מספר המשתנים גדל. המשפט נקרא על שמו של לוסיאן לה קם תבנית:אנ, אשר פרסם את התוצאה בשנת 1960.

ניסוח פורמלי של המשפט

תהי סדרת משתנים מקריים $X_1,...X_n$ בלתי תלויים המקיימים את התנאים הבאים:

• $X_1,...X_n$ מפולגים ברנולי עם $P(X_i=1)=p_i$ עבור $i=1,...,n$
• ${\lambda }_n=p_1+\cdots +p_n$
• $S_n=X_1+\cdots +X_n$ (כלומר $S_n$ מתפלג לפי התפלגות פואסון-בינומית תבנית:אנ)

אזי $.\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\mathrm{Pr}(S_n=k)-\frac{{\lambda }_n^k{e}^{-{\lambda }_n}}{k!}|<2\left(\sum _{i=1}^n{p}_i^2\right)$

במילים אחרות, הסכום $S_n$ מקורב בהתפלגותו להתפלגות פואסון, והאי-שוויון לעיל מספק חסם לשגיאת הקירוב במונחי מרחק השונות הכוללת תבנית:אנ.

על ידי הצבת $p_i=\frac{{\lambda }_n}{n}$ ניתן לראות כי תוצאה זו מכלילה את משפט הגבול של פואסון.

כאשר ${\lambda }_n$ גדול, ניתן לקבל חסם טוב יותר: $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\mathrm{Pr}(S_n=k)-\frac{{\lambda }_n^k{e}^{-{\lambda }_n}}{k!}|<2(1\wedge \frac{1}{{\lambda }_n})\left(\sum _{i=1}^n{p}_i^2\right)$, כאשר $\wedge$ מייצג את אופרטור המינימום .

דוגמה ליישום המשפט

הערכת מספר הפגמים ביצור באמצעות משפט לה קם

דוגמה לשימוש במשפט לה קם היא בהערכת מספר טעויות או פגמים בייצור. נניח את המודל הבא: ישנו תהליך ייצור שבו כל פריט שמיוצר יכול להיות פגום בהסתברות קטנה. נניח שמיוצרים $n$ פריטים. כל פריט הוא משתנה מקרי המסומן ב $X_i$ כאשר $i=1,...,n$, ונניח שכל פריט יכול להיות פגום בהסתברות $\frac{1}{n}$. כלומר, לכל פריט מתקיים $P(X_i=1)=\frac{1}{n}$ זו ההסתברות להצלחה (״הצלחה״=פגם ביצור), ו- $P(X_i=0)=1-\frac{1}{n}$ זו ההסתברות לכישלון (״כישלון״=פריט תקין). $S_n=\sum _i{X}_i$ מסמן את מספר הפגמים הכולל ב-$n$ פריטים בתהליך יצור מסוים. מעוניינים להעריך את ההתפלגות של $S_n$ כאשר $n$ גדול מאוד. על פי משפט לה קם, במקרה הזה, כאשר מספר הפריטים $n$ גדל מאוד, ההתפלגות של מספר הפגמים $S_n$ מתקרבת להתפלגות פואסון עם פרמטר $\lambda =1$. כלומר, מספר הפגמים מתוך $n$ פריטים, כאשר $n$ גדול מאוד, יתפלג בקירוב לפי פואסון עם פרמטר $\lambda =1$, והמרחק בין ההתפלגות האמיתית לפואסון יהיה קטן מאוד (בהתאם למרחק השונות הכוללת). באמצעות הקירוב הזה, ניתן להעריך את הסיכוי למספר מסוים של פגמים בתהליך, ולתכנן מראש את הצעדים הנדרשים כדי לשפר את איכות המוצרים.

ראו גם

• משפט הגבול של פואסון
• התפלגות ברנולי
• התפלגות פואסון