טנזור מאמצים

טנזור המאמצים

טנזור המאמצים בתיאור אינדקסים כללי

טנזור המאמצים מתאר את המאמצים על פני קובייה קטנה של החומר הנתון בעומס חיצוני, נהוג לייצגו על ידי מטריצה בת תשעה רכיבים (3 על 3). טנזור המאמצים מרכז את מאמצי המתיחה, הלחיצה והגזירה, הפועלים על נקודה חומרית בגוף.

טנזור המאמצים

$T=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right)$

משווי משקל מקבלים מטריצה סימטרית ובה 6 רכיבים שונים. מתקיים השוויון בין הרכיבים:

• ${\tau }_{xy}={\tau }_{yx}$
• ${\tau }_{zx}={\tau }_{xz}$
• ${\tau }_{zy}={\tau }_{yz}$

לכן:

$T=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{xz}& {\tau }_{yz}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right)$

טנזור המאמצים הוא טנזור סימטרי ותמיד אפשר להציג אותו כסכום של שני טנזורים סימטריים שהם:

• טנזור ממוצע או מאמצים הידרוסטטי הכולל מאמצי מתיחה או לחיצה בלבד
• טנזור מאמצי גזירה הכולל מאמצי גזירה בלבד.

תיאור כללי

התיאור הכללי של טנזור המאמצים נעשה באמצעות אינדקסים 1,2,3

x	→	1
y	→	2
z	→	3
σxx	→	σ11
τxy	→	σ12
τxz	→	σ13
...

ונקבל:

$T=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right)$

את חוק הוק אפשר להציג באמצעות המינוח הזה של האינדקסים בצורה הבאה:

${\sigma }_{ij}=\sum _{kl}{C}_{ijkl}\cdot {\epsilon }_{kl}$

תורת היחסות

טנזור מאמץ-אנרגיה יחסותי ורכיביו

בתורת היחסות טנזור המאמצים הוא חלק מטנזור 4 על 4 הנקרא טנזור צפיפות האנרגיה או טנזור המאמץ-אנרגיה ומסומן $T_{\mu \nu }$ (כאשר $\mu ,\nu =ct,x,y,z=0,1,2,3$): זהו טנזור סימטרי שכולל את צפיפות האנרגיה, שטף האנרגיה, תנע ואת טנזור מאמצים (תת-מערך בגודל 3 על 3). טנזור זה מופיע במשוואת השדה של איינשטיין $G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$ (כאשר $G_{\mu \nu }$ הוא טנזור איינשטיין) המתארת את עקמומיות המרחב-זמן כתלות בהתפלגות צפיפות האנרגיה, המסה, התנע והלחץ במרחב-זמן.

ראו גם

• מאמץ (הנדסה)

לקריאה נוספת

• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. תבנית:ISBN
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970..
• Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, תבנית:ISBN
• Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Dover Publications. תבנית:ISBN.
• Marsden, J. E., & Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. Dover Publications. תבנית:ISBN.

---

קישורים חיצוניים

• מאמצים וטנזור מאמצים, באנגלית
• טנזור המאמצים, באנגלית

תבנית:בקרת זהויות