למת רימן-לבג

תבנית:להשלים במתמטיקה, לֶמת רימן־לבג, על שם המתמטיקאים ברנהרד רימן ואנרי לבג, קובעת כי התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציה ממרחב L¹ מתאפסת באינסוף. ללֶמה חשיבות רבה באנליזה הרמונית.

הלֶמה

בהינתן $f:ℝ\to ℂ$ פונקציה מדידה, שהיא L¹ (כלומר: אינטגרל לבג של $|f|$ הוא סופי), אזי: $$\underset{z\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-izx}\mathrm{d}x]=0$$

כלומר, התמרת פורייה של $f$ שואפת ל-$0$ כאשר $z$ שואף לאינסוף.

לֶמה מקבילה

תהא $f:ℝ\to ℂ$ פונקציה רציפה למקוטעין בקטע [L,L-], ויהיו A_n ו-B_n מקדמי טור פורייה שלה. אזי:

$$\underset{n\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\underset{n\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n=0$$ניתן להכליל את הלֶמה של רימן-לבג לפונקציות אינטגרבליות ולאו דווקא רציפות.

הוכחה

תבנית:להשלים הוכחה עבור פונקציות רציפות ומחזוריות $2\pi$ לכל $\epsilon >0$ קיים פולינום טריגונומטרי$p(x)$ כך ש- $\mathrm{\forall }x,|p(x)-f(x)|<\epsilon$ נובע מיידית ממשפט פייר כיוון שממוצע סאזרו הוא פולינום טריגונומטרי לכל $f$ (מקדמי פורייה של פולינום טריגונומטרי מקיימים: $\underset{|n|\to \mathrm{\infty }}{\lim }\hat{f}(n)=0$).

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld