מונואיד חופשי

מונואיד חופשי הוא מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה המאפיינת אובייקטים חופשיים.

הגדרה

קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.

מונואיד חופשי $(F,\cdot ,1_F,S)$ הוא רביעייה סדורה של קבוצה $F$, פעולה $\cdot :F\times F\to F$, איבר $1_F\in F$, וקבוצה נוספת $S\subset F$ כך ש $(F,\cdot ,1_F)$ מונואיד ומתקיים:

ההגדרות הבאות שקולות:

1. לכל $(M,*,1_M)$מונואיד, ולכל $f:S\to M$ פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד $\tilde{f}:F\to M$ כך שמתקיים $\tilde{f}\circ i=f$ כאשר $i$ העתקת ההכלה (כלומר $i:S\to F,\mathrm{\forall }a\in S:i(a)=a$). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה $S$. כל ההומומורפיזמים של המונואיד $F$ נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי $S$ "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי $S$.תבנית:הערה
2. $S$ יוצרת את $F$, וגם לכל מספר טבעי $n>0$ ולכל ${\left\{s_i\right\}}_{i=1}^n\subset S$ מתקיים: $s_1\cdot \dots \cdot s_n=\prod _{i=1}^n{s}_i\ne 1_F$. ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה $S$. אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל$1_F$ יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.תבנית:הערה

דוגמאות

המספרים הטבעיים $\mathbb{N}$

הדוגמה הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר $0$ המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר $0$), ו$\left\{1\right\}$ מהווה את $S$.

כלומר הקבוצה $F$ מכילה מספרים כמו $0,1,2,3,45,100,6$ וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא: $1+1=2,20+5=25$ וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי: $0+1=1,4+0=4,84+0=84$ וכו'. וניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.

כוכב קלין

כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים $A$ מסומן ב-$A^{*}$ ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו-$A$ המהווה את הקבוצה $S$. לדוגמה אם $A=\{a,b,c\}$ אז $A^{*}$ מכיל איברים כגון $a,abab,aaabbcba$ וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמה באופן הבא: $ab*ca=abca$.תבנית:הערה

תתי-מונואידים של המונואיד החופשי

הגדרת תת-מונואיד

יהי $(M,*,1_M)$ מונואיד. אומרים כי $L$ תת-מונואיד של $(M,*,1_M)$ אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:

1. $L\subseteq M$.
2. אם $a,b\in L$ אזי $a*b\in L$.
3. $1_M\in L$.

חיתוך של תתי-מונואידים

משפט: יהי $(F,\cdot ,1_F,S)$ מונואיד חופשי. תהי ${\left\{L_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in I}$ קבוצה של תתי-מונואידים של $(F,\cdot ,1_F,S)$ כך שלכל $\alpha \in I$ מתקיים כי $L_{\alpha }$ מונואיד חופשי. אזי מתקיים $\bigcap _{\alpha \in I}{L}_{\alpha }$ מונואיד חופשי.תבנית:הערה

ראו גם

• חבורה חופשית
• מונואיד (מבנה אלגברי)

קישורים חיצוניים

• [1]