מטריצה צמודה

באלגברה ליניארית, מטריצה צמודה למטריצה מרוכבת $A$ היא המטריצה המתקבלת משחלוף השורות והעמודות והצמדה של רכיבי המטריצה. דהיינו, בשורה ה-$i$ ובעמודה ה-$j$ של המטריצה הצמודה מופיע הצמוד המרוכב של הערך מן השורה ה-$j$ והעמודה ה-$i$ של המטריצה המקורית. בפרט, עבור מטריצות ממשיות, המטריצה הצמודה אינה אלא המטריצה המשוחלפת. כלומר, עבור מטריצה $A$ המטריצה הצמודה $A^{\ast }$ מקיימת:

$(A^{\ast }{)}_{ij}=\overline{A_{ji}}$

למטריצה זו קוראים גם "צמוד הרמיטי" וסימונים נוספים עבורה הם:

$A^{†}=A^H=A^{\ast }:={\overline{A}}^{\mathrm{\top }}={\overline{A}}^T=\overline{A^T}$

כאשר הסימון השמאלי ביותר (קרי: "A דאגר") נפוץ בעיקר בפיזיקה קוונטית.

ההצמדה היא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג שני. מטריצה ריבועית שפעולת ההצמדה אינה משנה אותה נקראת מטריצה הרמיטית.

תכונות

• $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$
• אדיטיביות - $(T+S{)}^{\ast }=T^{\ast }+S^{\ast }$ ׁ
• $(\alpha T{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{T}^{\ast }$
• $(T^{\ast }{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{\ast }$ (ובפרט, כל אגף מוגדר אם ורק אם השני מוגדר)
• $(TS{)}^{\ast }=S^{\ast }{T}^{\ast }$

דוגמאות

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\ast }=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$
• ${\left[\begin{array}{cc}1+i& 2\\ 3i& 4i\end{array}\right]}^{\mathrm{\ast }}=\left[\begin{array}{cc}1-i& -3i\\ 2& -4i\end{array}\right]$
• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

ראו גם

• אופרטור צמוד - העתקה ליניארית אנלוגית

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld